El precio y la cantidad en equilibrio

Question

Tengo un mercado con más de 1.000 proveedores.

El total de la demanda puede ser descrito por

$$ Q=-300000 P + 6000000 $$

mientras que el total de la oferta puede ser descrito por

$$ Q=200000 \sum(MC^2)-200000 $$

¿Cuál es el precio y la cantidad de equilibrio?

No tengo idea de qué hacer con $\sum(MC^2)$ en el suministro.

Supongo que debería aislar $P$ en la primera ecuación: $$ P(Q) = 20-\frac{1}{300000} Q $$ pero no sé qué hacer ahora.

Answer 1

Sugerencia: Para encontrar el precio de equilibrio y cantidad que desea encontrar cuando el sistema está en equilibrio. En equilibrio la cantidad demandada debe ser igual a la cantidad suministrada.

$$Q_d = Q_s \implies -300,000P + 6,000,000 = 200,000 \sum_{i=1}^n (c_i'(q_i))^2 - 200,000$$

Donde $c_i(q_i)$ es la función de costo para la empresa $i$ con respecto al $q_i$, firmes $i$'s de producción. Estoy asumiendo que cuando escribiste $MC$ que significó un costo marginal.

$$\implies 6,200,000 - 200,000\sum_{i=1}^n (c_i'(q_i))^2 = 300,000P$$

$$\implies P = \frac{62}{3} - \frac{2}{3} \sum_{i=1}^n (c_i'(q_i))^2$$

Ahora que tenemos una relación inversa entre la función de demanda con respecto a $q$, tenemos que resolver a las empresas de los problema de maximización. Ya que no hay información que usted nos ha dado directamente sobre eso, vamos a asumir que la tecnología es homogéneo y que las empresas compiten a través de Cournot de la competencia.

$$\Pi_j = q_j(P(q)) - c(q_j)$$

$$\Pi_j = q_j(\frac{62}{3} - \frac{2}{3} \sum_{i=1}^n (c'(q_i))^2) - c(q_j)$$

Ahora tome la derivada de w.r.t $q_j$ y ajustar a cero para encontrar el máximo.

$$\Pi_j' = (\frac{62}{3} - \frac{2}{3} \sum_{i=1, i \neq j}^n (c'(q_i))^2) + \frac{2}{3} \frac{d}{dq_j} (c'(q_j)^2 \cdot q_j) - c'(q_j) = 0$$

Donde los que la derivada es evaluado con el producto y la regla de la cadena.

A partir de aquí, se resuelve $q_j$ como expresión de todas las $q_{i, i \neq j}$. Dado que las funciones de costo son homogéneos, no debe ser tan malo para hacer. También recuerde que el número de proveedores es de 1000, por lo que el problema puede ser más simplificado:

$$\Pi_j' = (\frac{62}{3} - \frac{2}{3} \cdot 999(c'(q_i))^2) + \frac{2}{3} \frac{d}{dq_j} (c'(q_j)^2 \cdot q_j) - c'(q_j) = 0$$

$$\implies \Pi_j' = (\frac{62}{3} - 666(c'(q_i))^2) + \frac{2}{3} (2c'(q_j) \cdot c''(q_j) \cdot q_j + c'(q_j)^2) - c'(q_j) = 0$$

y luego resolver para $q_j$ en términos de $q_{i, i \neq j}$ y el resto de la Cournot derivación.