Precios de opción exótica cuyo pago depende del tiempo de parada

Question

Estoy luchando con esta pregunta:

Sea $B$ un movimiento Browniano estándar. En un modelo de Black-Scholes, en el tiempo $t$, el precio de la acción está dado por \begin{equation} S_t = \exp \{ \sigma B_t + ( r- \frac{1}{2} \sigma^2 ) t \}. \end{equation} donde $\sigma >0$ y $r$ son constantes. Sea $a>0$. Queremos calcular el precio en el tiempo 0 de una opción exótica que pagará $1$ en el tiempo $\tau = \inf \{ t \in [0,T]: S_t > e^{\sigma a} \}$ si este tiempo ocurre antes del vencimiento $T>0$, de lo contrario no paga nada.

Se nos da el siguiente hecho: Para cualquier $c \in \mathbb{R}$, $a>0$, \begin{equation} \mathbb{P} \, ( \inf \{ t \in [0,T]: B_t + ct =a \} \leq T ) = 1- \Phi \bigg( \frac{a-cT}{\sqrt{T}} \bigg) + e^{2ac} \Phi \bigg( \frac{-a-cT}{\sqrt{T}} \bigg), \end{equation} donde $\Phi$ denota la función de distribución acumulada de la distribución $N(0,1)$.

Solo me enseñaron sobre la fijación de precios de las opciones europeas. ¿Qué necesitamos hacer en este caso?

Answer 1

Aquí sigue la respuesta anterior de Emcor para hacerlo más explícito. Tenga en cuenta que el hecho dado en la pregunta debería ser \begin{align*} P(\inf \big\{t \in [0, T], B_t +ct = a \big\} \geq T) = 1- \Phi\Big(\frac{a-cT}{\sqrt{T}}\Big) + e^{2ac}\Phi\Big(\frac{-a-cT}{\sqrt{T}}\Big). \end{align*} Entonces, para $0e^{a\sigma} \big\} \leq t_0 \Big)\\ &= P\Big(\inf \big\{t \in [0, T], B_t +ct>a \big\}\leq t_0 \Big)\\ &= P\Big(\inf \big\{t \in [0, t_0], B_t +ct>a \big\} \leq t_0 \Big)\\ &= P\Big(\inf \big\{t \in [0, t_0], B_t +ct = a \big\} \leq t_0 \Big)\\ &= \Phi\Big(\frac{a-ct_0}{\sqrt{t_0}}\Big) - e^{2ac}\Phi\Big(\frac{-a-ct_0}{\sqrt{t_0}}\Big). \end{align*> Que $\phi$ denote la función de densidad de una variable aleatoria normal estándar. Luego, la densidad de $\tau$ en el intervalo $[0, T]$ está dada por (derivando la función anterior con respecto a $t_0$) \begin{align*} \phi_{\tau}(t_0) &= \frac{a}{\sqrt{t_0^3}}\phi\Big(\frac{a-ct_0}{\sqrt{t_0}}\Big) \\ &=\frac{a}{\sqrt{2\pi t_0^3}}e^{-\frac{1}{2}\big(\frac{a^2}{t_0} - 2ac + c^2 t_0 \big)}. \end{align*> El valor de la opción es entonces \begin{align*> &\int_0^T e^{-r t_0} \frac{a}{\sqrt{2\pi t_0^3}}e^{-\frac{1}{2}\big(\frac{a^2}{t_0} - 2ac + c^2 t_0 \big)} dt_0\\ =&e^{a\big(c-\sqrt{c^2 + 2 r}\big)}\int_0^T \frac{a}{\sqrt{2\pi t_0^3}}e^{-\frac{1}{2}\big(\frac{a^2}{t_0} - 2a\sqrt{c^2 + 2 r} + (\sqrt{c^2 + 2 r})^2 t_0 \big)} dt_0\\ =& e^{a\big(c-\sqrt{c^2 + 2 r}\big)}\bigg[\Phi\bigg(\frac{a-\sqrt{c^2 + 2 r}\,t_0}{\sqrt{t_0}}\bigg) -e^{2a\sqrt{c^2 + 2 r}}\Phi\bigg(\frac{-a-\sqrt{c^2 + 2 r}\,t_0}{\sqrt{t_0}}\bigg)\bigg]_0^T\\ =& e^{a\big(c-\sqrt{c^2 + 2 r}\big)}\Phi\bigg(\frac{a-\sqrt{c^2 + 2 r}\,T}{\sqrt{T}}\bigg) + e^{a\big(c+\sqrt{c^2 + 2 r}\big)}\Phi\bigg(\frac{-a-\sqrt{c^2 + 2 r}\,T}{\sqrt{T}}\bigg). \end{align*>

Answer 2

$S_t$ ya está bajo $Q$ (deriva libre de riesgo), así que no necesitas cambiar la medida aquí.

Tenga en cuenta que $c:=\left(\frac{r}{\sigma}-\frac{1}{2}\sigma\right)$ y $E\left(1_A\right)=P(A)$.

Entonces se calcula el precio de la opción europea como la expectativa del pago descontado: $$C=e^{-rT}E\left(1_{\tau\leq T}\right)=e^{-rT}P(\tau\leq T).$$

El precio de la opción es igual a la probabilidad descontada del tiempo de golpe.

Si la opción es de tipo americano, el factor de descuento se vuelve estocástico:

$$C=E\left(e^{-r\tau}1_{\tau\leq T}\right)=\int_0^T e^{-r\tau}\,f(\tau)\,d\tau$$

La expresión también se puede calcular mediante la transformada de Laplace.

Answer 3

Si asumes que el pago se realiza en el tiempo T, solo tienes que calcular P(tau < T). En este caso, tienes todo lo necesario para hacerlo. Si el pago se realiza en el tiempo tau, necesitas calcular la densidad del tiempo de parada.