Intervalos de confianza para la elasticidad en la regresión lineal simple

Question

Estoy bastante seguro de que esta es una pregunta muy simple que estoy pasando por alto algo obvio. Tengo una regresión lineal simple con múltiples variables independientes. Quiero calcular la elasticidad (sin problema - $\frac{\partial y}{\partial x} \cdot \frac{x}{y}$), pero también reportar el intervalo de confianza para la elasticidad. Sé que es sencillo calcular el intervalo de confianza para $\beta$ ($\hat{\beta} \pm t^{*}_{\alpha} \cdot \sigma_{\beta}$). ¿Pero para el intervalo de confianza para la elasticidad, sería el mismo rango? ¿O necesito tener en cuenta la transformación ($\beta * x/y$)?

Answer 1

Si entiendo correctamente, lo que estás proponiendo es estimar: $$y = \gamma_0 + \gamma_1 \cdot x + \xi $$ y luego usar el intervalo de confianza de $\gamma_1$ para estimar el rango de elasticidades: $$ [\frac{\gamma_1 - 2 \cdot \sigma{\gamma_1}}{y} \cdot x, \frac{\gamma_1 + 2 \cdot \sigma{\gamma_1}}{y} \cdot x] $$

Esto es incorrecto, principalmente debido a la desigualdad de Jensen ($E[f(x)]\neq f(E[x])$). Debes tener en cuenta la incertidumbre no lineal al calcular el intervalo de confianza. Afortunadamente, esto es fácil. Si ejecutas la estimación de regresión de $$\ln(y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(x) + \epsilon$$ entonces el intervalo de confianza de $\beta_1$ es el intervalo de confianza de la elasticidad.

En una discusión posterior, el preguntante pregunta si es posible hacer esto con el coeficiente de regresión lineal ($\gamma_1$), junto con $\bar{x},\bar{y}$ y los errores estándar asociados. ¿Por qué querrías conocer la elasticidad en los valores promedio en lugar de la elasticidad implícita promedio sobre todos los pares x-y? El parámetro beta se estima en la población completa, entonces ¿por qué no también la elasticidad? Porque solo conocemos los valores promedio y el coeficiente de regresión lineal.

En principio, puedes hacer una simulación de Monte Carlo como la siguiente: $$ \hat{elasticidad}= (\hat{\gamma} + SE_{\gamma} * N(0,1)) * (\bar{x}+ SE_{\bar{x}} * N(0,1)) / (\bar{y}+ SE_{\bar{y}} * N(0,1))$$ realiza un montón de simulaciones y utiliza esto para hacer un intervalo de confianza alrededor de la estimación de elasticidad.

En las simulaciones que realicé, esto resultó en errores estándar del 95% que incluían el valor verdadero, pero eso podría ser simplemente una función de los parámetros que probé. Como era de esperar, los errores estándar resultantes en la elasticidad son mucho más grandes que en la especificación de registro.