Sobre "Dos problemas singulares de difusión" de William Feller

Question

Actualmente estoy leyendo el documento de investigación, Dos problemas de difusión singulares de William Feller (1950). Sin embargo, no entiendo cómo Feller derivó la solución $(3.5)$ ecuación dada $(3.4)$ en su trabajo de investigación. Más específicamente, no entiendo cómo Feller resolvió $$dt=\frac{d\omega}{f(t)-cs\omega} \implies \frac{d\omega}{dt}=f(t)-cs\omega,$$ donde $$\text{This is equation (3.4)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, e^{-bt}\frac{as-b}{s}=C_1 \implies s=\frac{be^{-bt}}{ae^{-bt}-C_1},$$ y $a, b, C_1$ son constantes con $b\neq0$ para obtener la solución $$\text{This is equation (3.5)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \omega = \left|C_1 - ae^{-bt}\right|^{c/a}\left\{C_2 + \int_{0}^{t}{\frac{f(\tau)d\tau}{\left|C_1 - ae^{-b\tau}\right|^{c/a}}}\right\},$$ donde $C_2$ también es una constante.

Tenga en cuenta que ya he comprobado que esto es cierto diferenciándolo (y utilizando el Teorema fundamental del cálculo ) pero no entiendo cómo Feller lo derivó originalmente.

¿Puede alguien explicarme con detalle o darme alguna pista al respecto? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Para simplificar, asumimos la positividad necesaria, y entonces podemos ignorar los signos absolutos. Obsérvese que \begin{align*} \big(C_1 - a e^{-bt} \big) d\omega = \big(C_1 - a e^{-bt} \big) f(t) dt + cbe^{-bt} \omega dt. \end{align*} Eso es, \begin{align*} \big(C_1 - a e^{-bt} \big)\,d\omega - cbe^{-bt} \omega \, dt= \big(C_1 - a e^{-bt} \big) f(t)dt. \end{align*} Entonces, \begin{align*} d\Big(\big(C_1-ae^{-bt} \big)^{-\frac{c}{a}} \, \omega\Big) &= -\frac{c}{a}\,\omega \big(C_1-ae^{-bt} \big)^{-\frac{c}{a}-1}\big(abe^{-bt}\big) dt + \big(C_1-ae^{-bt} \big)^{-\frac{c}{a}} d\omega\\ &=\big(C_1-ae^{-bt} \big)^{-\frac{c}{a}-1}\Big[\big(C_1-ae^{-bt} \big) d\omega- cbe^{-bt} \omega \, dt \Big]\\ &=\big(C_1-ae^{-bt} \big)^{-\frac{c}{a}}f(t)dt. \end{align*} El resto es ahora obvio.