¿Cómo puedo expresar esta cantidad en una forma más fácil?

Question

Por ejemplo, sé que la suma de los primeros $101$ números naturales se pueden expresar en los siguientes fácil de cálculo:

$\sum_{i=1}^{101}i = \frac{101*102}{2}$

Una de las preguntas es: ¿y qué acerca de esta suma?

$\sum_{i=1}^{101}i + \sum_{i=1}^{100}i + ... + \sum_{i=1}^{1}i = \sum_{i_1=1}^{101}\sum_{i_2=1}^{i_1}i_2$

Y especialmente, ¿qué acerca de la $nth$ de casos, es decir;

$\sum_{i_1=1}^{101}\sum_{i_2=1}^{i_1}\cdots\sum_{i_n=1}^{i_{n-1}}i_n$

Gracias de antemano!

Answer 1

Como usted ha mencionado, hemos

$$\sum_{l=0}^{k}{p}=\frac{k(k+1)}{2}$$

Quieres saber

$$\sum_{k=0}^{n}{\sum_{l=0}^{k}{p}}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{k(k+1)}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}{k^2}+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}{k}$$

usted sabe que

$$\sum_{k=0}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Por lo tanto $$\sum_{k=0}^{n}{\sum_{l=0}^{k}{p}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}+\frac{n(n+1)}{4}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

EDITAR :

Podemos generalizar que : Para $m$ iteraciones,que se suma a $k$, tenemos

$$Sum(m,k)=\frac{k(k+1)...(k+m)}{(m+1)!}$$

En otras palabras,

$$Sum(m,k)={m+k \choose k-1}$$

$$Sum(m+1,n)=\sum_{k=0}^{n}{{m+k \choose k-1}}$$

También,

$${m+1 +n \choose n-1}={m+n\choose n-2}+{m+n\choose n-1}$$ $${m+n\choose n-2}={m+n-1\choose n-3}+{m+n-1\choose n-2}$$ Podemos seguir haciendo esto, hasta que llegamos $$Sum(m+1,n)={m+1 +n \choose n-1}$$