Implícita Riesgo de Densidad Neutra no se integra a la Unidad

Question

Hay un conocido resultado de que $\frac{\partial^2 c(K)}{\partial K^2}= e^{-rT}f(K)$, donde $K$ es la huelga y $f$ es el riesgo de densidad neutra en el tiempo $T$. Con la izquierda calculado a partir de precios de mercado, esta fórmula puede ser usada para obtener el implícita riesgo de densidad neutra.

Sin embargo, ¿qué sucede si los precios de mercado son tales que esto no da una válida de la densidad. Por ejemplo, el mercado puede dar un $\frac{\partial^2 c(K)}{\partial K^2}$ tal que $f(K)$ no se integra a la unidad.

¿Se conocen las condiciones en que la volatilidad implícita o $c(K)$ tal que $f(K)$ válida es la densidad?

Answer 1

Si usted recuerda la derivación de Breeden y Litzenberger (1978), todo lo que usted necesita (aparte de no-arbitraje y una infinidad de opciones de llamada) es la siguiente

1. $\max\{S_0e^{−qT} − Ke^{−rT} , 0\} \leq C(S_0,K,T) \leq S_0e^{−qT}$ para todas las huelgas $K \geq0$,
2. $\frac{\partial C(S_0,K,T)}{\partial K}\geq -e^{-rT}$ para todas las huelgas $K \geq0$,
3. $\lim\limits_{K\to\infty}\frac{\partial C(S_0,K,T)}{\partial K}=0$ y
4. La opción call de precio de $C(S_0,K,T)$ como una función del precio de ejercicio $K$ es el doble diferenciable, monótona decreciente y convexa.

Entonces, existe un riesgo muy definidos-de densidad neutra de la función (es decir, positiva y se integra a uno) dado por $$q(x) = e^{rT}\frac{\partial^2 C(S_0,K,T)}{\partial K^2}\bigg|_{K=x}.$$

Normalmente, se puede interpolar el liquidly negocian las huelgas, donde la opción es ATM bien. El probablem surge cuando usted necesita los valores de las opciones con las pequeñas y grandes huelgas que no son bien cotizados. Una posibilidad es proponer un modelo paramétrico para la cola de comportamiento. Taylor (de los Activos de la Dinámica de Precios, la Volatilidad, y la Predicción, 2005) tiene un capítulo entero en distraer la atención del riesgo de densidad neutra y es muy aplicado.