¿Cómo cotizar una opción de intercambio utilizando el marco de B&S?

Question

Consideremos un mercado compuesto por dos valores cuyos precios $X$ y $Y$ están dadas por la difusión de B&S:

$$dX_t= \mu X_t dt+ \sigma X_tdW_t$$

$$dY_t= \mu Y_t dt+ \sigma Y_tdB_t$$

Suponiendo que el mercado es completo, ¿cómo evaluar el precio justo de una opción cuyo pago es $$ \phi(X_T,Y_T)=(X_T-Y_T)_+$$

Mi idea era aplicar una técnica de cambio de numerario y obtener así el precio en función de la fórmula B&S. Sin embargo, no he sido capaz de encontrarla.

Se agradecerá cualquier consejo.

Answer 1

El cambio de medida sigue siendo el enfoque más natural para estos problemas. Suponemos que, bajo la medida $P$ , \begin {align*} dX_t &= \mu X_t dt + \sigma X_t dW_t^1, \\ dY_t &= \mu Y_t dt + \sigma Y_t \left ( \rho dW_t^1 + \sqrt {1- \rho ^2} dW_t^2 \right ), \end {align*} basado en la descomposición de Cholesky, donde $\{W_t^1, t \ge 0\}$ y $\{W_t^2, t \ge 0\}$ son dos movimientos brownianos estándar independientes, y $\rho$ ( $|\rho|<1$ ) es la correlación. Definimos la medida $Q$ tal que \begin {align*} \frac {dQ}{dP} \big |_t = \exp\left (- \frac {1}{2} \sigma ^2 t + \sigma\left ( \rho W_t^1 + \sqrt {1- \rho ^2} W_t^2 \right ) \right ). \end {align*} Entonces, $\{\widehat{W}_t^1, t \ge 0\}$ y $\{\widehat{W}_t^2, t \ge 0\}$ son dos movimientos brownianos estándar independientes bajo $Q$ , donde \begin {align*} \widehat {W}_t^1 &= W_t^1 - \rho\sigma t, \\ \widehat {W}_t^2 &= W_t^2 - \sqrt {1- \rho ^2} \sigma t. \end {align*} Además, \begin {align*} dX_t &= ( \mu + \rho\sigma ^2) X_t dt + \sigma X_t d \widehat {W}_t^1, \\ dY_t &= ( \mu + \sigma ^2) Y_t dt + \sigma Y_t \left ( \rho d \widehat {W}_t^1 + \sqrt {1- \rho ^2} d \widehat {W}_t^2 \right ), \end {align*} y luego \begin {align*} Y_T &= Y_0 \exp\left ( \Big ( \mu + \frac {1}{2} \sigma ^2 \Big )T + \sigma\left ( \rho \widehat {W}_T^1 + \sqrt {1- \rho ^2} \widehat {W}_T^2 \right ) \right ), \\ \frac {X_T}{Y_T} &= \frac {X_0}{Y_0} \exp\left (( \rho -1) \sigma ^2T + \sigma (1- \rho ) \widehat {W}_T^1- \sigma\sqrt {1- \rho ^2} \widehat {W}_T^2 \right ) \\ &= \frac {X_0}{Y_0} \exp\left (( \rho -1) \sigma ^2T + \sqrt {2(1- \rho )} \sigma \frac { \sigma (1- \rho ) \widehat {W}_T^1- \sigma\sqrt {1- \rho ^2} \widehat {W}_T^2}{ \sqrt {2(1- \rho )} \sigma } \right ) \\ &= \frac {X_0}{Y_0} \exp\left (- \frac {1}{2} \hat { \sigma }^2T + \hat { \sigma } W_T \right ), \end {align*} donde $\hat{\sigma} = \sqrt{2(1-\rho)}\sigma$ y \begin {align*} W_t = \frac { \sigma (1- \rho ) \widehat {W}_t^1- \sigma\sqrt {1- \rho ^2} \widehat {W}_t^2}{ \sqrt {2(1- \rho )} \sigma } \end {align*} es un movimiento estándar de Brownina, por la caracterización de Levy. Por lo tanto, \begin {align*} E_P \left ( (X_T-Y_T)^+ \right ) &= E_P \left (Y_T \left ( \frac {X_T}{Y_T}-1 \right )^+ \right ) \\ &=E_Q \left ( \left ( \frac {dQ}{dP} \big |_T \right )^{-1}Y_T \left ( \frac {X_T}{Y_T}-1 \right )^+ \right ) \\ &=Y_0e^{(u+ \sigma ^2)T}E_Q \left ( \left ( \frac {X_T}{Y_T}-1 \right )^+ \right ) \\ &= Y_0e^{(u+ \sigma ^2)T} \left [ \frac {X_0}{Y_0} \Phi (d_1) - \Phi (d_2) \right ] \\ &= e^{(u+ \sigma ^2)T} \Big [X_0 \Phi (d_1) - Y_0 \Phi (d_2) \Big ]. \end {align*} donde \begin {align*} d_1 &= \frac { \ln \frac {X_0}{Y_0} + \frac {1}{2} \hat { \sigma }^2T}{ \hat { \sigma } \sqrt {T}} \\ &= \frac { \ln \frac {X_0}{Y_0} + (1- \rho ) \sigma ^2T}{ \sqrt {2(1- \rho )} \sigma\sqrt {T}}, \\ d_2 &= d_1 - \hat { \sigma } \sqrt {T} \\ &= d_1 - \sqrt {2(1- \rho )} \sigma\sqrt {T}. \end {align*}

Answer 2

Esa es una gran pregunta y es lo que siempre quise intentar hacer.

Creo que he encontrado una solución utilizando el enfoque PDE. El cambio de numerario sería más intuitivo de hecho, pero no soy muy bueno en el cálculo estocástico.

La idea es la siguiente:

1) Consideremos la cartera $\Pi = V(X,Y,t) - \Delta_X X - \Delta_Y Y$ . Voy a encontrar $\Delta_X$ y $\Delta_Y$ tal que la cartera $\Pi$ sería sin riesgo y obtendría una tasa de rendimiento sin riesgo $r$ : $d\Pi = r\Pi dt$ .

Supuesto : $dX = \mu_X X dt + \sigma_X X dW^X$ , $dY = \mu_Y Y dt + \sigma_Y Y dW^Y$ y $dW^X dW^Y = \rho dt$ .

Por lo tanto, aplicando el lema de Ito obtengo: $d\Pi = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial X} dX + \frac{\partial V}{\partial Y} dY + \frac{1}{2} \sigma_X^2 X^2 \frac{\partial^2 V}{\partial X^2} dt+ \frac{1}{2} \sigma_Y^2 Y^2 \frac{\partial^2 V}{\partial Y^2} dt+ \rho \sigma_X\sigma_Y XY \frac{\partial^2 V}{\partial X\partial Y} dt - \Delta_X dX - \Delta_Y dY =$

$\left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma_X^2 X^2 \frac{\partial^2 V}{\partial X^2}+ \frac{1}{2} \sigma_Y^2 Y^2 \frac{\partial^2 V}{\partial Y^2} + \rho \sigma_X\sigma_Y XY \frac{\partial^2 V}{\partial X\partial Y} \right)dt + \left(\frac{\partial V}{\partial X} - \Delta_X \right) dX + \left(\frac{\partial V}{\partial Y} - \Delta_Y \right) dY$ .

Y todo esto es igual a $d\Pi = r\Pi dt = r\left(V - \Delta_X X - \Delta_Y Y\right)dt$

Ahora, pon $\frac{\partial V}{\partial Y} = \Delta_Y$ y $\frac{\partial V}{\partial X} = \Delta_X$ .

El lado izquierdo se convierte en $\left(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma_X^2 X^2 \frac{\partial^2 V}{\partial X^2}+ \frac{1}{2} \sigma_Y^2 Y^2 \frac{\partial^2 V}{\partial Y^2} + \rho \sigma_X\sigma_Y XY \frac{\partial^2 V}{\partial X\partial Y}\right) dt$

El lado derecho es ahora $r\left(V - \frac{\partial V}{\partial X} X - \frac{\partial V}{\partial Y} Y\right)dt$

El PDE es ahora $\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma_X^2 X^2 \frac{\partial^2 V}{\partial X^2}+ \frac{1}{2} \sigma_Y^2 Y^2 \frac{\partial^2 V}{\partial Y^2} + \rho \sigma_X\sigma_Y XY \frac{\partial^2 V}{\partial X\partial Y} = r\left(V - \frac{\partial V}{\partial X} X - \frac{\partial V}{\partial Y} Y\right)$ o

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma_X^2 X^2 \frac{\partial^2 V}{\partial X^2}+ \frac{1}{2} \sigma_Y^2 Y^2 \frac{\partial^2 V}{\partial Y^2} + \rho \sigma_X\sigma_Y XY \frac{\partial^2 V}{\partial X\partial Y} + r\frac{\partial V}{\partial X} X + r \frac{\partial V}{\partial Y} Y = rV$

Se me olvidaba: la condición de contorno es $V(X, Y, T) = (X - Y)^+$

2) Ahora, para resolver esta loca EDP utilizaré la sustitución: $Z = \frac{X}{Y}$ y $V(X,Y,t) = G(Z, t)$ .

Gracias a Wolfram Alpha lo he hecho:

$\frac{\partial V}{\partial X} = \frac{1}{Y} \frac{\partial G}{\partial Z}$

$\frac{\partial V}{\partial Y} = -\frac{X}{Y} \frac{\partial G}{\partial Z}$

$\frac{\partial^2 V}{\partial X^2} = -\frac{1}{Y^2} \frac{\partial^2 G}{\partial Z^2}$

$\frac{\partial^2 V}{\partial Y^2} = \frac{X\left(2Y\frac{\partial G}{\partial Z}+X\frac{\partial^2 G}{\partial Z^2}\right)}{Y^4} $

$\frac{\partial^2 V}{\partial XY} = -\frac{Y\frac{\partial G}{\partial Z}+X\frac{\partial^2 G}{\partial Z^2}}{Y^3} $

Sustituyendo en la ecuación anterior y cancelando los términos obtenemos:

$\dot{G} + [\sigma_X^2-\rho \sigma_X \sigma_Y]ZG' + \frac{1}{2}[\sigma_X^2-2\rho \sigma_X \sigma_Y + \sigma_Y^2]Z^2G'' = rG$ o

$\dot{G} + \mu_GZG' + \frac{1}{2}\sigma_G^2 Z^2G'' = rG$ , donde

$\dot{G} = \frac{dG}{dt}$ , $G' = \frac{dG}{dZ}$

$\mu_G = \sigma_X^2-\rho \sigma_X \sigma_Y$ , $\sigma_G = \sqrt{\sigma_X^2-2\rho \sigma_X \sigma_Y + \sigma_Y^2}$

Y la condición de contorno es $G(Z,T) = Y(Z - 1)^+$

ACTUALIZACIÓN: LA VERSIÓN ANTERIOR NO ERA DEL TODO CORRECTA

3) Ahora la cuestión es qué hacer con eso $Y$ en la ecuación anterior? Empleo el siguiente cambio de variables: $G(Z) = YF(Z)$ .

Gracias al papel y al lápiz, lo he hecho:

$G' = (YF)' = Y\left(F' - \frac{F}{Z}\right)$ y $G'' = \left((YF)'\right)' = \text{after some calculations} = YF''$

Si se introduce esto en $Z$ de la PDE obtenemos:

$\dot{F} + \mu_G Z F' + \frac{1}{2} \sigma_G^2 Z^2 F'' = (r+ \mu_G)F$ con la condición de límite $F(Z,T) = (Z-1)^+$

Ahora denota $r^* = r+ \mu_G$ y la ecuación se convierte en: $\dot{F} + (r^* - r) Z F' + \frac{1}{2} \sigma_G^2 Z^2 F'' = r^* F$

4) Ahora $r^*$ funciona como la nueva tasa libre de riesgo y $r$ es como $Z$ y podemos aplicar la conocida fórmula de la opción sobre el activo con dividendos pagados continuamente:

$F(Z, T) = e^{-r^*T} N(d_1) Z_0 - e^{-rT} N(d_2) $ , donde $d_{1,2} = \frac{1}{\sigma_G\sqrt{T}}\left[\ln\left(Z_0\right)+\left(r^* - r \pm\frac{\sigma_G^2}{2}\right)T\right] =\frac{1}{\sigma_G\sqrt{T}}\left[\ln\left(Z_0\right)+\left(\mu_G \pm\frac{\sigma_G^2}{2}\right)T\right] $ .

5) Ahora $V = e^{-r^*T} N(d_1) X_0 - e^{-rT} N(d_2) Y_0$ , donde $d_{1,2} =\frac{1}{\sigma_G\sqrt{T}}\left[\ln\left(\frac{X_0}{Y_0}\right)+\left(\mu_G \pm\frac{\sigma_G^2}{2}\right)T\right] $ , donde

$r^* = r+ \mu_G$

$\mu_G = \sigma_X^2-\rho \sigma_X \sigma_Y$

$\sigma_G = \sqrt{\sigma_X^2-2\rho \sigma_X \sigma_Y + \sigma_Y^2}$

Espero haber acertado.

También espero que alguien pueda proponer alguna solución mejor, tal vez utilizando el enfoque de la martingala.

Answer 3

Debe estudiar la dinámica de $X_t-Y_t$ No te olvides de la correlación y de que el movimiento browniano no es el mismo.

Estoy bastante seguro de que hay algunos grandes defectos en su modelo (como tomar la misma tasa de interés). Usted realmente debe echar un vistazo a esto: John C. Hull Opciones, futuros y otros derivados