Mostrar que la integral de Ito es Gaussiano

Question

Deje $f(t), 0 \leq t \leq T$ ser una función determinista con $f(t) = \sum_{i=1}^na_{i-1}1_[t_{i=1}, t_i)(t)$ con $0 \leq t_0<t_1<...<t_{n-1} = T$. Mostrar que la integral estocástica $I_t(f) = \int_0^tf(s)dW_s$ es un proceso Gaussiano.

Siguiendo el método en este: Distribución de la integral estocástica, que puedo mostrar que cada una de las $I_t(f)$ está normalmente distribuida para todos los $t$.

Para mostrar que $I_t(f)$ es Gaussiano, necesito mostrar que para todos los $0 \leq t_1 < ... < t_n$ y cualquier $a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}$, $a_1I_{t_1}(f) + .. + a_n I_{t_n}(f)$ es Gaussiano con media 0. Esto sería cierto si el $I_{t_i}$ en conjunto fueron distribuidos normalmente, porque entonces cualquier combinación lineal de ellos también es gaussiano. Es esta la manera correcta de ir sobre él, o es que hay una manera más sencilla?

Answer 1

Su enfoque tiene sentido. Considere dos veces $t_1 < t_2$. Estamos interesados en la articulación momento de generación de la función

\begin{eqnarray} \Psi \left( u_1, u_2 \right) & = & \mathbb{E} \left[ \exp \left\{ u_1 \int_0^{t_1} f(u) \mathrm{d}W_u + u_2 \int_0^{t_2} f(u) \mathrm{d}W_u \right\} \right]\\ & = & \mathbb{E} \left[ \exp \left\{ \left( u_1 + u_2 \right) \int_0^{t_1} f(u) \mathrm{d}W_u \right\} \right] \mathbb{E} \left[ \exp \left\{ u_2 \int_{t_1}^{t_2} f(u) \mathrm{d}W_u \right\} \right]. \end{eqnarray}

Aquí, hemos utilizado la independencia de la integral sobre la $\left[ 0, t_1 \right]$ e $\left[ t_1, t_2 \right]$ en el segundo paso para el factor de la expectativa.

Sabemos que para cualquier $s_1 < s_2$

\begin{equation} \mathbb{E} \left[ \exp \left\{ u \int_{s_1}^{s_2} f(u) \mathrm{d}W_u - \frac{1}{2} u^2 \int_{s_1}^{s_2} f^2(u) \mathrm{d}u \right\} \right] = 1 \end{equation}

y así

\begin{equation} \mathbb{E} \left[ \exp \left\{ u \int_{s_1}^{s_2} f(u) \mathrm{d}W_u \right\} \right] = \exp \left\{ \frac{1}{2} u^2 \int_{s_1}^{s_2} f^2(u) \mathrm{d}u \right\}, \end{equation}

que es el momento de generación de función de una variable aleatoria normal con

\begin{equation} \mathcal{N} \left( 0, \int_{s_1}^{s_2} f^2(u) \mathrm{d}u \right). \end{equation}

Esto es válido para cualquier $s_1 < s_2$ e $u$ y por lo tanto también para

1. $s_1 = 0$, $s_2 = t_1$ y $u = u_1 + u_2$ y
2. $s_1 = t_1$ e $s_2 = t_2$ e $u = u_2$.

Tenemos

\begin{eqnarray} \Psi \left( u_1, u_2 \right) & = & \exp \left\{ \frac{1}{2} \left[ \left( u_1 + u_2 \right)^2 \int_0^{t_1} f^2(u) \mathrm{d}u + u_2^2 \int_{t_1}^{t_2} f^2(u) \mathrm{d}u \right] \right\} \nonumber\\ & = & \exp \left\{ \frac{1}{2} \left[ \left( u_1^2 + 2 u_1 u_2 \right) \int_0^{t_1} f^2(u) \mathrm{d}u + u_2^2 \int_0^{t_2} f^2(u) \mathrm{d}u \right] \right\} \end{eqnarray}

Pero esto es sólo el momento de generación de la función de un bi-variable variable aleatoria normal con

\begin{equation} \mathcal{N}_2 \left( \left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} \int_0^{t_1} f^2(u) \mathrm{d}u & \int_0^{t_1} f^2(u) \mathrm{d}u\\ \int_0^{t_1} f^2(u) \mathrm{d}u & \int_{t_1}^{t_2} f^2(u) \mathrm{d}u \end{array} \right) \right). \end{equation}