Cómo obtener la probabilidad de ejercicio de la opción call en el modelo Black-Scholes?

Question

Desde el modelo Black-Scholes, estoy tratando de probar:

$p(S_t>K) = N(d_2)$

La suerte aún No!

Puede alguien sugerir una referencia demuestran que la forma de obtener esta ecuación?

Todo lo que me sale es:

$S_t = S_0e^{ (\mu-0.5 \sigma^2)t+\sigma B_t }$

Y miré para:

$E[S_t>K] $

Sin embargo, no podía hacerlo a:

$N(d_2)$

Answer 1

Con el activo subyacente precio de $S_t$ después de un geométricas movimiento Browniano con deriva $\mu$ (riesgo-neutral o de otro tipo) , tenemos en el momento $t = T$,

$$S_T = S_0e^{(\mu- \frac{\sigma^2}{2})T}e^{\sigma B_T} = S_0e^{(\mu- \frac{\sigma^2}{2})T}e^{\sigma\sqrt{T}\xi}$$

donde $\xi \sim N(0,1)$ es una variable aleatoria normal estándar. Que es, $S_T$ es lognormally distribuido.

La probabilidad de que una opción call con precio de ejercicio $K$ expira en el dinero es

$$P(S_T > K) = P(\log S_T > \log K) = P(\log\frac{S_T}{K} > 0),$$

desde el logaritmo natural es una monotonía de la función y $S_T > K$ si y sólo si $\log S_T > \log K$.

El uso de

$$\log \frac{S_T}{K} = \log \frac{S_0e^{\mu T}}{K} - \frac{\sigma^2T}{2} + \sigma \sqrt{T} \xi,$$

llegamos después de algunos cambios,

$$P(S_T > K) = P(\xi > -d_2)$$

donde

$$d_2 = \frac{\log \frac{S_0e^{\mu T}}{K}}{\sigma \sqrt{T}} - \frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}$$

Por la simetría de la distribución normal, tenemos $P(\xi > -d_2) = P(\xi < d_2) = N(d_2)$.