La Teoría de la utilidad - Cómo mostrar que este exponencial de la función de utilidad es la riqueza independiente?

Question

Tengo una pregunta en el siguiente ejercicio, a partir del capítulo 9 de la D. Luenberger, la Inversión de Ciencia, Edición Internacional.

Ejercicio 2 (La Riqueza De La Independencia)

Supongamos que un inversionista tiene exponencial de la función de utilidad de $U(x) = -e^{-ax}$ y un primer nivel de riqueza de W. El inversor se enfrenta a una oportunidad de invertir una cantidad $w \le W$, y obtener un azar de la rentabilidad $x$.

Mostrar que su evaluación de este incremento de la inversión es independiente de la W.

Yo primero considera que la utilidad después de la inversión es $-e^{-aW}*e^{-a(x-w)}$ y que este es un factor por encima de la utilidad original de $-e^{-aW}$ que es independiente de W, y, a continuación, esa es la solución.

Sin embargo, esto en realidad no tomar en cuenta la aleatoriedad de x. Por ejemplo, conozco un posible ejemplo donde si $x$ sólo toma 2 valores con probabilidad de $\frac{1}{2}$ cada uno, a continuación, se puede demostrar que $w$, el valor absoluto monto a invertir, es exactamente el mismo para cualquier inicial de la riqueza $W$.

Así que si se diera el caso de que esta cuestión requiere un resultado similar para cualquier aleatoria de rentabilidad $x$,, ¿cómo puedo hacerlo si no sé la función de probabilidad de $x$?

Tal vez debería considerar la posibilidad de $w$ como proporción de $W$ y, a continuación, mostrar de alguna manera que esto es igual a una constante $\frac{k}{W}$ al $E(U(x))$ se maximiza con respecto a $x$.

Si este es el enfoque, ¿cómo se diferencian $E(U(x))$ con respecto a x?

Answer 1

La respuesta es relativamente sencilla si se supone que $x$ se distribuye normalmente - $x \sim N(\mu_x,\sigma^2_x)$. Si $x$ se distribuye normalmente, a continuación, la maximización de la $U(x)=−e^{ax}$ es la misma como la maximización de la media de la varianza de la utilidad: $U = E(W) - 0.5a Var(W)$ .

Ahora, dado que:

$E(W) = s\mu_x + (W-s) $ donde $s$ es la cantidad de dinero en el riesgo de stock y $W-s$ es la cantidad no invertida - esto supone una tasa libre de riesgo de cero.

$Var(W) = s^2 \sigma^2_x$

Tome la primera a las condiciones de la orden a: $U = s\mu_x + (W-s) - 0.5a s^2 \sigma^2_x$ y obtener:

$\mu_x - a s \sigma^2_x = 0 $. Así : $s = \frac{\mu_x}{a\sigma^2_x}$

Que no depende de la inicial de la riqueza q.e.d.

Editar: Siguiendo el comentario a continuación vamos a mostrar sin suponiendo normalidad:

Denota la cantidad invertida en los activos de riesgo por $\theta$ y el nivel inicial de riqueza por $W$, el agente de la utilidad esperada es: $U = \int \exp(-a[(W-\theta)Rf + \theta x])f(x)dx = \int \exp(-aWRf) \exp[-a\theta(x-Rf)]f(x)dx = \exp[-aWR_f]\int \exp[-a\theta(x-R_f)]f(x)dx$

Así, la solución al problema es independiente de la inicial de la riqueza (basta tomar f.o.c. en la ecuación anterior y tenga en cuenta que $W$ no se muestra).