La teoría de juegos - Escribir un problema de maximización (con restricción)

Question

Tengo un problema con la búsqueda de una manera de cómo resolver este ejemplo: disponemos de la empresa, que tiene dos tipos de clientes a los que el índice es $H$ e $L$. Asumimos: $θ_H > θ_L$. Cantidad$(Q)$ de % de $H$ indexado clientes es en la población. Liquidación de tipo de cliente$(i)$, que compra productos($x$) por un precio($p$) es $U_i=θ_iv(x)−p$. La compañía determina la cantidad y el precio por esa cantidad para cada tipo de cliente ($x_i,p_i$). Los costos de la empresa se $C(x_h,x_l)=x_h+x_l$. La empresa no conoce el tipo de cliente y maximiza su beneficio.

Encontrar el problema de maximización de la empresa que resuelve (con restricción). Resolver este ejemplo con $v(x)=\ln x$.

Answer 1

Aquí está el problema de maximización resuelto por la empresa :

\begin{eqnarray*} \max_{x_h, p_h, x_l, p_l} & p_h + p_l - x_h - x_l \\ \text{s.t} & \theta_hv(x_h) - p_h \geq 0 \tag{IR%#%#%} \\ & \theta_lv(x_l) - p_l \geq 0 \tag{IR%#%#%} \\ & \theta_hv(x_h) - p_h \geq \theta_hv(x_l) - p_l \tag{IC%#%#%} \\ & \theta_lv(x_l) - p_l \geq \theta_lv(x_h) - p_h \tag{IC%#%#%}\end{eqnarray*}

Ahora vamos a resolver el anterior problema de maximización de $_h$. Dado que el $_l$, es fácil ver que sólo IC$_h$ e IR$_l$ será vinculante en óptimas, y podemos reescribir el problema de optimización como :

\begin{eqnarray*} \max_{x_h, p_h, x_l, p_l} & p_h + p_l - x_h - x_l \\ \text{s.t} & \theta_l\ln x_l - p_l = 0 \tag{IR%#%#%} \\ & \theta_h\ln x_h - p_h = \theta_h\ln x_l - p_l \tag{IC%#%#%} \end{eqnarray*}

La sustitución de las restricciones en el objetivo, podemos reescribir el objetivo de la siguiente manera :

\begin{eqnarray*} \max_{x_h, x_l} & \ \ \theta_h\ln x_h + (2\theta_l-\theta_h)\ln x_l - x_h - x_l \end{eqnarray*}

Suponiendo $v(x) = \ln x$, y resolver el problema de los rendimientos de los siguientes:

\begin{eqnarray*} x_h^* & = & \theta_h \\ x_l^* & = & 2\theta_l-\theta_h \end{eqnarray*} En consecuencia, \begin{eqnarray*} p_l^* & = & \theta_l \ln(2\theta_l-\theta_h) \\ p_h^* & = & \theta_h\ln \theta_h + (\theta_l-\theta_h)\ln (2\theta_l-\theta_h) \end{eqnarray*}