Valor de la Opción de compra como la Volatilidad tiende a Infinito

Question

¿Por qué el valor de una opción call ir infinito como la volatilidad tiende a infinito?

Entiendo cómo se podría resolver esta cuestión mediante la toma de $\sigma \rightarrow \infty$ en la solución a los black scholes ecuación. Sin embargo, no puedo entender esto en un mayor nivel heurístico. Seguramente como la volatilidad tiende a infinito también tienen una mayor probabilidad de que la opción de acabados fuera del dinero (y, posiblemente, por un largo camino)?

Answer 1

El valor de una opción call NO ir hasta el infinito, como la volatilidad tiende a infinito. Tiende al valor actual del precio de las acciones de $S_0$.

Permítanme explicar por qué. El valor de una opción call aumenta con la volatilidad como la ventaja de la opción es mayor que si la acción es más volátil - la desventaja es siempre con pisos en cero, por lo que este no cambia. En el límite de la volatilidad tiende a infinito, el valor de una opción call tiende a que el precio de las acciones. Podemos ver esto desde el Black-Scholes solución a la opción de llamada. Esta está dada por: \begin{equation} C(S_0,T)= S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) \end{equation} donde \begin{equation} d_1= \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left[\ln{\left(\frac{S_0}{K}\right)} + \left(r + \frac{\sigma^2}{2} \right) T \right] \end{equation} y \begin{equation} d_2= \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left[\ln{\left(\frac{S_0}{K}\right)} + \left(r - \frac{\sigma^2}{2} \right) T \right] \end{equation} Cuando $\sigma \rightarrow \infty$ tenemos $d_1 \rightarrow \infty$ e $d_2 \rightarrow -\infty$. Por tanto, como $N(x) \rightarrow 1$ e $N(-x) \rightarrow 0$ como $x \rightarrow \infty$, tenemos \begin{equation} C(S_0,T) \rightarrow S_0 \end{equation} La comprensión de por qué este es el caso no es tan claro. Depende de nosotros darse cuenta de que como $\sigma \rightarrow \infty$, la distribución de la probabilidad de $S_T$ se convierte extendió a lo largo de toda la $S_T>0$ de apoyo, pero con una probabilidad significativa de la acumulación de masa en $S_T=0$.

Sin embargo de no-arbitraje se requieren condiciones de la expectativa de $S_T$ en el tiempo de $T$ debe ser igual al precio a plazo tal que \begin{equation} \int_0^{\infty} S_T g(S_T) dS_T = S_0 e^{rT} \end{equation} donde $g(S_T)$ es la función de densidad de probabilidad para la terminal de precio de las acciones de $S_T$.

En la fórmula Black-Scholes el primer término es en realidad el descuento del valor esperado de la en-el-dinero precio de las acciones \begin{equation} e^{-rT} \int_K^{\infty} S_T g(S_T) dS_T = S_0 - e^{-rT} \int_0^{K} S_T g(S_T) dS_T. \end{equation}

Como $\sigma \rightarrow \infty$, la distribución se vuelve tan manchado que la integral de $S_T$ de $0$ a $K$ es insignificante (la única probabilidad significativa de la masa es de $S_T=0$ que no contribuye) en comparación con la integral de la $K$ a $\infty$. Por tanto, el segundo término en el lado derecho se convierte en insignificante en comparación con el primer término y de manera \begin{equation} e^{-rT} \int_K^{\infty} S_T g(S_T) dS_T \rightarrow S_0 \end{equation} y \begin{equation} C(S_0,T) \rightarrow S_0. \end{equation}

Answer 2

El precio de las acciones puede caer mucho con alta volatilidad, pero sólo puede perder el precio de la opción, si usted compró la opción. De modo que la boca se hace más grande, pero el inconveniente es acotada.