¿RASP implica WARP? y GARP implica SARP?

Question

Es obvio que WARP no implica SARP, ya que WARP no descarta las elecciones cíclicas, mientras que SARP sí lo hace.

El término axioma "fuerte" sugiere que abarca el axioma "débil". Pero esto no es obvio para mí por la definición.

¿Alguna estructura de elección que satisfaga al SARP también satisface al WARP?

Análogamente, el axioma "generalizado" de la preferencia revelada (GARP) parece abarcar el SARP, pero una vez más, no puedo verlo desde la definición.

WARP: Si $x,y \in B$ y $x \in C(B)$ entonces no podemos encontrar un $B_2$ de tal manera que $x,y \in B_2$ y $y \in C(B_2)$ pero no $x \in C(B_2)$ .

SARP: Asumir para todos $B$ la elección $c(B)$ es sólo un elemento. Si $x_i,x_{i+1} \in B_i$ y $x_i = c(B_i)$ para todos $i \in \{1,N-1\}$ Entonces $x_1=c(B_1) \notin B_N$ .

Si $p_i \cdot x_{i+1} \leq p_i \cdot x_i$ para $i \in \{1, N-1\}$ y $p_N \cdot x_{1} \leq p_N \cdot x_N$ entonces esas desigualdades deben ser iguales.

(GARP asume específicamente $p$ son vectores de precios y $x$ son paquetes de consumo, mientras que los otros dos axiomas se aplican a cualquier tipo de estructura de elección).

Answer 1

Sí, el SARP implica el WARP. Dado que todas las opciones son monotonales bajo SARP, abusamos de la notación y escribimos $C$ como una función que toma alternativas como valores. Demostramos el contrapositivo, toda violación de WARP en un escenario donde las elecciones son únicas da lugar a una violación de SARP. Por lo tanto, supongamos que hay conjuntos $B$ , $B'$ que contiene $x$ y $y$ tal que $c(B)=x$ y $C(B')=y$ . Dejar $B_1=B$ y $B_2=B'$ se obtiene una violación directa de la SARP (supongo que usted requiere $x_i\neq x_{i+1}$ en la definición de SARP).

En el contexto de los conjuntos presupuestarios, SARP implica GARP. Sea $B_i=\{x\mid p_ix\leq p_ix_i\}$ . Entonces el SARP dice que si $p_i x_{i+1}\leq p_i x_i$ pero $x_i$ es la única opción de $B_i$ para $i\in\{1,\ldots,N_1\}$ entonces $p_N x_i>p_N x_N$ . Así que el caso $p_N x_i\leq p_N x_N$ nunca puede ocurrir; GARP no puede ser violado.

Ahora bien, el GARP, tal y como se formula habitualmente, es una condición sobre conjuntos de datos que consisten en combinaciones de precio y elección. No se requiere que el mismo sistema de precios conduzca a la misma elección, por lo que GARP no implica SARP.