He leído el procedimiento de fijación de precios de una opción de inicio en un Black-Scholes mundo en Musiela-Rutkowski, pero no me parece que su prueba clara (pp 195-6). Permítanme resumir su argumento:
Considere dos fechas de $T_0 < T$. Hacia el inicio de la llamada opción permite a su titular a recibir, en tiempo de $T_0$ y sin ningún coste adicional, una opción call expirying en $T$, con la huelga de igual a $S(T_0)K$, para algunas de las $K>0$. Así, la opción de la vida empieza a $T_0$, pero el titular de la paga en el momento $0$ el precio de la opción.
Así que, vamos a ver cómo el precio de un contrato de este tipo. En primer lugar, introducir el terminal de pago $$ FS(T)\colon = (S(T) - KS(T_0))^+ $$ y para encontrar su precio en el momento $0$, comencemos considerando su valor en el momento $T_0$. Esto es fácilmente encontrado para ser $$ FS(T_0) = c(S(T_0), T-T_0, KS(T_0)). $$
En este punto podemos ver que, después de algunos fácil manipulación algebraica, tenemos $$ c(S(T_0), T-T_0, KS(T_0)) = S(T_0)\cdot c(1, T-T_0, K) $$
Aquí comienzan los problemas. Qué es exactamente lo que significa el último símbolo $c(1, T-T_0, K)$??
Es cierto que algebraicamente la anterior relación tiene sentido, $1$ representa el valor en el tiempo $T_0$ y que la huelga es $K$, pero, ¿qué significa exactamente? La fórmula Black-Scholes para el precio de una opción en... ¿qué es exactamente? Un activo cuyo valor en $T_0$ es 1, y cuál es este bien??
Siguiente, la prueba se procede así: desde $c(1, T-T_0, K)$ es aleatoria, la opción del valor en el momento $0$ es igual a $$ FS(0) = S(0)\cdot c(1, T-T_0, K) = c(S(0), T-T_0, KS(0)). $$ Por qué? Yo argumentaba así: el precio en el momento $0$ del contrato debe ser, en el riesgo-neutral medida, el valor $$ FS(0) = \tilde{\mathbf E}[D(T_0)\cdot c(S(T_0), T-T_0, KS(T_0))]=\tilde{\mathbf E} [D(T_0)S(T_0)\cdot c(1, T-T_0, K)], $$ donde $D(T_0)$ es el factor de descuento en el momento $T_0$ (con una tasa de interés constante). Desde $c(1, T-T_0, K)$ es una constante (por lo que he adivinado), puede sacar de la Expectativa de símbolo y obtener $$ \tilde{\mathbf E} [D(T_0)S(T_0)c(1, T-T_0, K)]= c(1, T-T_0, K)\tilde{\mathbf E} [D(T_0)S(T_0)] = c(1, T-T_0, K)S(0) $$ la última relación debido a $D(T_0)S(T_0)$ es una martingala. Es esto correcto? Es mi entendimiento de que el valor de $S(T_0)$ no se conoce en tiempo de $t=0$, por lo que estamos tratando como una variable aleatoria, por lo tanto, tiene sentido tomar su descuento expectativa de vuelta a tiempo $0$, mientras que la expresión $c(1, T-T_0, K)$ (cuyo significado es claro para mí como escribí antes), es sólo un número, ya que se calcula en tiempo de $T_0$ cuando todas las cantidades que aparecen en $c(1, T-T_0, K)$ son determinados.
Agradecería que, en su opinión, esta prueba está bien, y ¿cuál es su respuesta a la pregunta que me escribió en negrita. Gracias de antemano.
