Es este un escrito mal ejemplo, o podría volatilidad en el hecho de ser negativo?

Question

Soy auto-estudio y me encontré con el siguiente ejemplo. Esto parece sugerir que la volatilidad es negativo en este ejemplo. Yo estaba bajo la impresión de que la volatilidad nunca puede ser negativo, tanto desde una perspectiva matemática y en el "mundo real". Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Parece que utilizan el término "volatilidad" para describir dos cosas muy distintas cantidades: (1) el coeficiente de difusión de la SDE y (2) la desviación estándar de la log-devoluciones bajo sus supuestos utilizados en la modelización. Mientras que la primera puede ser negativo, el segundo no.

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[Interpretación 1]

Considere la posibilidad de un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ y un modelo de movimiento Browniano $W_t^\mathbb{P}$. Desde una perspectiva matemática pura, la dinámica: $$ dS_t = \dots + \vert \sigma \vert dW_t^\mathbb{P} $$ es estrictamente equivalente a \begin{align} dS_t &= \dots - \vert \sigma \vert dW_t^\mathbb{P}\\ &= \dots + \vert \sigma \vert d(-W_t^\mathbb{P}) \\ &= \dots + \vert \sigma \vert d \tilde{W}_t^\mathbb{P} \end{align} desde $\tilde{W}_t^\mathbb{P} = -W_t^\mathbb{P}$ puede ser demostrado ser un $\mathbb{P}$-movimiento Browniano.

Esto significa que la especificación de una dinámica de esta manera $$ dS_t = G S_t dt + 0.2 S_t dW_t $$ es el mismo que se especifica como $$ dS_t = G S_t dt - 0.2 S_t dW_t $$

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[Interpretación 2]

Suponiendo un Movimiento Browniano Geométrico, como se propone en el ejercicio (Black-Scholes como dinámica), la aplicación de Itô del lema y de la integración de $0$ a $t$ obtendrá: $$ d\ln(S_t) = (\mu - \sigma^2/2)dt \pm \vert \sigma \vert dW_t^\mathbb{P} $$ $$ \ln(S_t) = \ln(S_0) + (\mu - \sigma^2/2)t \pm \vert \sigma \vert W_t^\mathbb{P} $$ donde el $\pm$ se utiliza para el positivo y negativo del coeficiente de difusión de la convención;

Debido a las propiedades de movimiento Browniano, en ambos casos, usted va a terminar con una distribución normal, log-devuelve: $$ \ln(S_t) \sim \mathcal{N}( \ln(S_0) + (\mu - \sigma^2/2)t, \sigma^2 t) $$ con un positivo de registro-devuelve la varianza de $\sigma^2 t$ y la desviación estándar asociada $$\sqrt{\sigma^2 t } = \vert \sigma \vert \sqrt{t} > 0$$