¿Por qué el precio y la riqueza de los derivados, ponderado por el precio y la riqueza, la suma a 0?

Question

De Mas-Colell, Whinston y Green (Teoría Microeconómica), tenemos esta propuesta en la página 27. Si la homogeneidad mantiene,

$$\Sigma_{k=1}^{L} \frac{\partial x_l (p,w)}{\partial p_k} p_k + \frac{\partial x_l (p,w)}{\partial w} w = 0$$

Es decir, el precio y la riqueza de los derivados, cuando ponderado por el precio, $p_k$ y riqueza $w$, equivale a 0. ¿Cuál es la lógica económica detrás de esto? La homogeneidad implica esto-pero para que esto se sostenga, que no requieren que los precios y la riqueza que aumentar proporcionalmente (estoy en lo cierto?)

A partir de esto, también podemos derivar que la suma de las elasticidades precio propias y cruzadas precio elasticidades) equivale a 0. Entiendo que podemos derivar de este matemáticamente-- pero de nuevo, ¿por qué siempre estas elasticidades equivale a 0, económicamente?

(También, si estos resultados se llevan a cabo solamente cuando los precios y la riqueza aumente proporcionalmente, estoy totalmente de entender, pero el libro no hace esa distinción).

Answer 1

Como se ha mencionado por Mas-Colell, Whinston y Green, la igualdad es verdadera "para todos los $p$ e $w$". Es una consecuencia de la restricción presupuestaria, que está satisfecho por cualquier de los precios y valores de renta: $$\Sigma_{k=1}^{L} p_k x_k (p,w) = w.$$ Como usted menciona, la igualdad de $$\Sigma_{k=1}^{L} \frac{\partial x_l (p,w)}{\partial p_k} p_k + \frac{\partial x_l (p,w)}{\partial w} w = 0$$ surge cuando la aplicación de Euler-teorema para el presupuesto limitado y funciones de demanda. Como funciones de demanda son homogéneas de grado cero en $(p,w)$, no se cambian cuando los precios y los ingresos son de hasta - o reducidos por cualquier número de $\kappa>0$: $$x_l (\kappa p,\kappa w) = x_l ( p, w) ,$$ y esta igualdad se cumple para cualquier valor de $p$ e $w$. Esto implica el ex igualdad y explica también por qué es válido no sólo para la mejora de la resolución de los nuevos precios y los ingresos $(p,w)=(\kappa p_0,\kappa w_0)$ , pero en realidad para cualquiera de los precios y de los ingresos debido a que tanto $\kappa$ e $(p_0,w_0)$ puede ser arbitraria.

¿Qué acerca de la interpretación económica? Hmm... yo diría que cualquier simultánea (marginales y arbitraria) cambio en $p$ e $w$ provoca cambios en los valores de demandas que la (propia y cruzada-) precio de las reacciones y de los ingresos de respuesta a compensar. Es equivalente a decir que todas las elasticidades precio y renta de la elasticidad agregar a cero para cualquier función de demanda de $x_l$.

Answer 2

La homogeneidad se menciona en el texto, en realidad se refiere a la homogeneidad de grado cero a medida que el libro habla acerca de estática comparativa. Si no homogeneidad de grado cero, entonces la ecuación en realidad no tiene.