Por qué " Aunque el precio del activo subyacente no varíe, la delta de una opción in-the-money aumenta a medida que se acerca el vencimiento"

Question

He visto esta línea en algún sitio web pero no consigo entenderla. ¿Alguien puede explicarlo?

"Aunque el precio del activo subyacente no varíe, la delta de la opción para una opción in-the-money aumenta a medida que se acerca el vencimiento; lo contrario ocurre para una opción out-of-the-money".

En el contexto de la ecuación BSM más simple, el delta tiene la fórmula:

$$\Delta = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\frac{1}{\sigma\sqrt{T}} \left( \ln \left( \frac{K}{S_0} \right) - \left( r + \frac{\sigma^2}{2} \right) T \right)}^{+\infty}\exp \left( -\frac{x^2}{2} \right) \mathrm{d}x.$$

Haciendo algunos análisis matemáticos, cuando ITM, $\Delta$ aumentará cuando $T$ sólo disminuye si

$$T\leq\frac{ \left( r + \sigma^2/2 \right)}{\ln \left( S_0 / K \right)}.$$

Cuando OTM, $\Delta$ disminuirá siempre que $T$ disminuye, incondicionalmente. Así que este resultado es diferente de lo que vi en línea y me confunde.

Answer 1

@Kiwiakos te dio la intuición. Aquí está el análisis correspondiente que pediste. El delta de la call plain vanilla europea viene dado por

\begin{equation} \frac{\partial C_0}{\partial S_0} = \mathcal{N} \left( d_+ \right), \end{equation}

donde

\begin{equation} d_+ = \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left( \ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T \right) \end{equation}

Diferenciando de nuevo con respecto a $T$ produce

\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 C_0}{\partial S_0 \partial T} & = & \mathcal{N}' \left( d_+ \right) \frac{\partial d_+}{\partial T}\\ & = & \mathcal{N}' \left( d_+ \right) \frac{1}{2 \sigma T \sqrt{T}} \left( -\ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T \right). \end{eqnarray}

Este término es negativo (delta aumenta a medida que se acorta el plazo de vencimiento) si

\begin{equation} -\ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T < 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad S_0 > K \exp \left\{ \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) T \right\} := S^*(T) \end{equation}

Esto se ajusta a la fórmula que ha facilitado. En el límite tenemos

\begin{equation} \lim_{T \downarrow 0} S^*(T) = K \end{equation}

como se esperaba.

En cuanto a la afirmación que has citado que dice que delta aumenta para las opciones in-the-money a medida que disminuye el tiempo hasta el vencimiento. Esto es más o menos cierto como se ve en lo anterior, aunque no del todo exacto.

Answer 2

Tenga en cuenta que la opción delta viene dada por $\Delta= N(d_1)$ donde \begin{align*} d_1 = \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\big(r+\frac{\sigma^2}{2}\big)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}. \end{align*} Sea $\tau = T-t$ sea el vencimiento residual de la opción. Entonces, para $K <S_t$ , \begin{align*} \frac{\partial d_1}{\partial \tau} &= \frac{(r+\frac{\sigma^2}{2}\big) \tau - \ln\frac{S_t}{K}}{2\sigma \tau^{\frac{3}{2}}}. \end{align*} Por lo tanto, a medida que se acerca el vencimiento, o cuando $\tau \rightarrow 0$ , $\frac{\partial d_1}{\partial \tau} < 0$ es decir, el delta de la opción aumenta a medida que el vencimiento residual de la opción $\tau$ disminuye (es decir, se acerca el vencimiento).

Answer 3

Si la llamada es ITM, es decir $K<S$ A medida que se acerca el vencimiento, aumenta la probabilidad de que se ejerza la opción, ya que queda menos tiempo para que se convierta en OTM. Delta es la posición que mantiene la coberturista, por lo que tendrá que mantener más acciones.