Riesgo Neutral en el Mundo Real y Valoraciones mediante Monte Carlo

Question

Supongamos que yo soy un inversor que quiere vender exóticas opciones put. Nadie es vender mi tipo de opción put, así que tengo que determinar mi propio "Precio de Mercado" a través de la simulación de Monte Carlo. Sé que por la ley de un solo precio, este debe contener:

$$P_t = E^Q[P_t|\mathcal{F}_t] = E^P[P_t|\mathcal{F}_t]$$

En mi riesgo neutral de Monte Carlo de valoración, que modelo de mi precio de las acciones como:

$$dS = rS_tdt + \sigma S_tdW_t$$

En mi mundo real de Monte Carlo de valoración, que modelo de mi precio de las acciones como:

$$dS = \mu S_tdt + \sigma S_tdW_t$$

Sólo de pensar en esta forma intuitiva, sin embargo, la opción de venta con un valor inferior a mi mundo real de simulación de Monte Carlo será mucho más barato que la opción de venta bajo mi riesgo neutral simulaciones, debido a que la tasa de crecimiento es mucho mayor. Así que lo que me estoy perdiendo aquí? Estoy equivocado en mi primera declaración, que expectativas en virtud de la P y Q medidas son iguales, o soy yo que pensaba mi segundo declaraciones incorrectamente?

Answer 1

Usted probablemente se preguntará si $\mathbb{E}^\mathbb{P}[P_T\mid\mathcal{F}_t]= \mathbb{E}^\mathbb{Q}[P_T\mid\mathcal{F}_t]$. Nota: el $T$ como índice, es decir, el futuro desconocido de la rentabilidad y no el precio actual $P_t$.

Ahora, ¿por qué debería de $P_t$ ser una martingala bajo ambos, $\mathbb{P}$ e $\mathbb{Q}$? Lo más probable es que no lo es. De hecho, la razón por qué utilizar $\mathbb{Q}$ en el primer lugar es porque la $(P_t)$ no es una martingala bajo $\mathbb{P}$. En su lugar, se definen $\mathbb{Q}$ tales que el descuento de los activos básicos (y, por lo tanto derivados) son martingales bajo $\mathbb{Q}$.

Como se señaló, la distribución de $(S_t)$ es bastante diferente en virtud de $\mathbb{P}$ e $\mathbb{Q}$. Por lo tanto, el condicional expectativas de $P_T$ diferir demasiado.

Answer 2

Sólo para añadir a la respuesta de @KeSchn :

Hay al menos dos cosas que están pasando aquí. En primer lugar vamos a $\{Q_i \}$ denotar un conjunto de equivalente probabilidad de medidas, que incluye su $P$ e $Q$ anterior.

1. Cualquier $F^i(t)$ define como $F^i(t) = E_t^{Q_i} [P_T]$ va a ser una martingala por la aplicación de la torre de la ley.

2. Con la definición anterior, es no ser el caso de que $F^i(t) = F^j(t)$. En cambio, si $dQ_i / dQ_j$ denota la medida de cambio (técnicamente llamado el Radon-Nikodym derivados), entonces

$$ E_t^{Q_i} [P_T] = E_t^{Q_j} \left[ \frac{dQ_i}{dQ_j} P_T \right] $$

cual es la forma correcta de la ley de un solo precio.