Pruebas de Endogeneidad

Question

Pido disculpas si esta pregunta es muy básica. Tengo el siguiente modelo de Variables Instrumentales básico.

$Y=\alpha+X\beta+\varepsilon$

$X=\delta+Z\gamma+\eta$

$\varepsilon\perp\eta,\quad Z\perp\eta \quad$ verdadero

Estoy interesado en probar $\varepsilon\perp X$, es decir, si X es un instrumento válido para la primera ecuación (de manera muy informal, uno podría decir que quiero probar si $X$ es exógeno, o si necesito instrumentar $X$ con $Z$)

Mi idea es: estimar el modelo de VI utilizando 2SLS o GMM, utilizando tanto $X$ como $Z$ como instrumentos, y luego realizar una prueba de Sargan / Hansen. Supongo que el poder de la prueba dependerá de cuán fuertemente $Z$ predice a $X$ (es decir, de cuán relevante es $Z$ como instrumento para $X$). En 2SLS, la primera etapa encajará perfectamente y la prueba será básicamente una prueba de si los residuos de MCO son ortogonales a $Z$. ¿Es correcto este razonamiento? ¿La prueba de Sargan / Hansen es una prueba válida para $\varepsilon\perp X$?

Answer 1

(i) Creo que tu idea tiene sentido. Bajo la hipótesis nula, $[X,Z]$ es ortogonal a $\varepsilon$. Bajo la hipótesis alternativa, $X$ está correlacionado con $\varepsilon. (ii) Tu afirmación de que básicamente es una prueba de si los residuos de mínimos cuadrados ordinarios son ortogonales a $Z$ es exactamente lo que pienso. (iii) Tu idea sobre la potencia que depende de la relevancia de $Z también tiene sentido. Si $Z$ es irrelevante, entonces las restricciones de momento $E[Z_i' (y_i - \alpha - X_i \beta)] = 0$ se cumplen para cualquier $\beta$ (debido a la falta de correlación entre $Z_i$ y $X_i$), por lo que los residuos de MCO parecen no estar correlacionados con los instrumentos aunque el estimador MCO sea inconsistente. Creo que esta prueba está estrechamente relacionada con los métodos estándar explicados a continuación, aunque no he realizado ninguna derivación al respecto.

(iv) Como sabrás, hay métodos de libro de texto para probar la endogeneidad. Stata implementa algunos. Mira help ivregress postestimation. Verás estat endogenous allí. Ahí, para la estimación de 2SLS, se pueden comparar MCO y 2SLS; o $y$ se regresa en $[X,\hat{\eta}]$, después de lo cual se prueba la significancia estadística de $\hat\eta$.

Answer 2

Investigué un poco más y creo que encontré la confirmación de mi sospecha en este artículo, que describe el comando ivreg2 en STATA. No soy un econometrista súper técnico, pero según mi entendimiento, aparentemente se puede hacer usando la opción orthog() y bajo ciertas condiciones es equivalente a una prueba de Hausman.

http://www.stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0030_3

Una ventaja de hacer la prueba como una prueba de Sargan, que resultó útil para mi trabajo, es que si implementas el modelo tú mismo en STATA usando el motor GMM puedes realizarlo incluso cuando tienes menos instrumentos que variables endógenas (esto se debe a que estás realizando la prueba bajo la hipótesis nula de que las variables supuestamente endógenas son en realidad exógenas)