Fijación de precios de los bonos de cupón flotante mediante un tipo de interés estocástico

Question

Por lo tanto, no estoy seguro de que la siguiente fijación de precios del bono sea posible. Dado el tipo de interés estocástico, uno quiere fijar el precio del bono con el tipo de cupón flotante o con el tipo de cupón desconocido. ¿Cómo debería uno valorar este bono si tanto el tipo de interés a plazo como el tipo de cupón son desconocidos en el sentido de que ambos son aleatorios?

Answer 1

Considere el período de cálculo $[T_1, T_2]$ y el tipo de cupón flotante \begin{align*} L(T_1; T_1, T_2) = \frac{1}{T_2-T_1}\left(\frac{1}{P(T_1, T_2)} -1 \right) \end{align*} fijado en $T_1$ y pagado en $T_2$ , donde $P(t, u)$ es el precio en el momento $t$ de un bono de cupón cero con vencimiento $u$ y el importe nominal de la unidad.

Dejemos que $B_t= \exp\left(\int_0^t r_s ds \right)$ el valor de la cuenta del mercado monetario al tiempo $t$ . Además, dejemos que $Q$ sea la medida neutral de riesgo y $Q_{T_2}$ sea el $T_2$ -Medida de avance. Entonces \begin{align*} \frac{dQ}{dQ_{T_2}}\big|_{\mathcal{F}_t} = \frac{P(0, T_2)B_{t}}{P(t, T_2)}. \end{align*} Además, el valor del pago del cupón flotante viene dado por \begin{align*} E_Q\left(\frac{L(T_1; T_1, T_2) \times (T_2-T_1)}{B_{T_2}} \right)&=E_{Q_{T_2}}\left( \frac{dQ}{dQ_{T_2}}\big|_{\mathcal{F}_{T_2}}\frac{L(T_1; T_1, T_2) \times (T_2-T_1)}{B_{T_2}}\right)\\ &=P(0, T_2) E_{Q_{T_2}}\left( L(T_1; T_1, T_2) \times (T_2-T_1)\right)\\ &=P(0, T_2) E_{Q_{T_2}}\left( \frac{1}{P(T_1, T_2)} -1 \right)\\ &=P(0, T_2) E_{Q_{T_2}}\left( \frac{P(T_1, T_1)}{P(T_1, T_2)} -1 \right)\\ &=P(0, T_2)\left( \frac{P(0, T_1)}{P(0, T_2)} -1 \right)\\ &=P(0, T_1) - P(0, T_2). \end{align*} En el caso de un pagaré de tipo variable, o bono, el valor es la suma de los valores de todos los pagos de cupones y el valor del pago nocional al vencimiento. En este caso, la valoración está libre de modelos, independientemente de que el tipo de interés sea determinista o estocástico.