Primero, escribiremos el pago del intercambio cruzado de divisas a valor razonable basado en el mercado. Segundo, haremos algunas exploraciones. Tercero, esperamos que nuestra exploración sea fructífera para que podamos comprender dónde necesitamos calcular el ajuste de convexidad.
Las curvas a plazo requeridas son:
- Curva LIBOR doméstica $L^\text{d}$, por ejemplo, si la moneda doméstica es GBP, entonces este es el LIBOR de GBP. De manera similar, también tenemos la curva LIBOR extranjera $L^\text{f}$.
- Curva OIS doméstica $B^\text{d}$ y curva OIS extranjera $B^\text{f}$.
- Curva de diferencial de base doméstica $s^\text{d}$, es decir, el número real $s^\text{d}$ tal que $L^\text{d}=B^\text{d}+s^\text{d}$, también tenemos la curva de diferencial de base extranjera $s^\text{f}$, es decir, el número real $s^\text{f}$ tal que $L^\text{f}=B^\text{f}+s^\text{f}$.
También necesitamos el nocional doméstico $N^\text{d}$, la tasa de cambio de divisa $X$ y un cupón $c$ agregado a la tasa LIBOR extranjera.
Sea $t_\alpha$ la primera fecha de reajuste y $t_\beta$ la última fecha de pago, donde $\alpha, \beta \in \mathbf{N}$. El flujo de efectivo descontado del intercambio cruzado de divisas a valor razonable (mtmxccy swap en adelante) tendrá el flujo de efectivo descontado en la primera fecha de reajuste $t_\alpha$ como $$ \pi_{t_\alpha}^\text{f}=\sum_{i=\alpha+1}^{\beta} \left\lbrace N^\text{d} \left( L^\text{f}(t_{i-1},t_i) +c \right) \tau^\text{f}_i X(t_{i-1}) B^\text{f}(t_\alpha,t_i) \right\rbrace + \sum_{i=\alpha+1}^{\beta} N^\text{d} X(t_{i-1}) \left( B^\text{f}(t_\alpha,t_i) -B^\text{f}(t_\alpha,t_{i-1}) \right) $$ Vale la pena examinar este pago durante uno o dos segundos - recomiendo establecer $\alpha=0, \beta=1$, es decir, el caso de un único cupón, para comprender cuál es el flujo de efectivo de la pata extranjera.
Un mtmxccy swap tendrá el valor presente de la pata extranjera en el tiempo cero como $$ \begin{align} \pi_{0}^{\text{f}} & = \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^\text{d} }_{0} \left[ \pi_{t_\alpha}^\text{f} \right] \\ & = N^\text{d} \sum_{i=\alpha+1}^{\beta} \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^\text{d} }_{0} \left[ \left\lbrace \left[ \left( L^\text{f}(t_{i-1},t_i) + c \right) \tau_i^\text{f} +1 \right] B^\text{f}(t_{i-1},t_i) -1 \right\rbrace B^\text{f}(0,t_i) X(t_{i-1}) \right] \\ & = N^\text{d} X(0) \sum_{i=\alpha+1}^{\beta} P^{\text{d}}(0,t_{i-1}) \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^\text{d},t_{i-1} }_{0} \left[ \left\lbrace \left[ \left( L^\text{f}(t_{i-1},t_i) + c \right) \tau^\text{f}_i + 1 \right] B^\text{f}(t_{i-1},t_i)-1 \right\rbrace \right] \\ & = \text{alguna álgebra ...} \\ & = N^\text{d} X(0) \sum_{i=\alpha+1}^{\beta} P^{\text{d}}(0,t_{i-1}) \left[ s^\text{f}(t_{i-1},t_i) + c \right] \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^\text{d},t_{i} }_{0} \left[ B^\text{f} (t_{i-1},t_i) \right] \end{align} $$
No mostré los pasos para la parte de "alguna álgebra" por dos razones: primero, necesitarás usar el hecho de que $L^\text{f}=s^\text{f}+B^\text{f}$, que se puede escribir más explícitamente como $$ L^\text{f}(t_1,t_2) = s^\text{f}(t_1,t_2)+B^\text{f}(t_1,t_2) = s^\text{f}(t_1,t_2) + \frac{1}{\tau^\text{f}_i} \left[ \frac{1}{B^\text{f}(t_1,t_2)} -1 \right], $$ y en segundo lugar, y aún más importante, soy extremadamente perezoso. Es bueno hacer algo de trabajo por ti mismo para verificar que no haya cometido un error tipográfico.
Ahora, ¿dónde entra el ajuste de convexidad? El término $\mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^\text{d},t_{i} }_{0} \left[ B^\text{f} (t_{i-1},t_i) \right]$ requiere un ajuste de convexidad porque la expectativa se toma bajo la medida doméstica, pero el bono bajo consideración se expresa naturalmente en la medida extranjera. Así que necesitas cambiar de la medida de avance extranjera a la medida de avance doméstica.
(La pata doméstica es aún más complicada ya que también se requiere un ajuste temporal, pero dejémoslo para otro día)
Es en este punto donde necesitas especificar un modelo para fijar el precio del bono $B$ - el modelo de Vasicek (o el modelo de Hull-White) generalmente hace el trabajo. Necesitas introducir los siguientes parámetros
- Función de volatilidad del bono doméstico
- Función de volatilidad del bono extranjero
- Función de volatilidad de la tasa de cambio de divisa
- Correlación entre el bono doméstico y extranjero, $\rho^{\text{d,f}}$
- Correlación entre la tasa de cambio de divisa y el bono extranjero, $\rho^{\text{X,f}}$.
1 y 2 no están cotizados en el mercado, pero se pueden recuperar a partir de la superficie de volatilidad de caplets, que está cotizada en el mercado.
0 votos
Tu intuición es correcta, proviene de la correlación entre FX y tasas: en la pata de reset estás pagando o recibiendo Libor en un monto nominal que se reinicia con cambios en el FX, pero tus libors forward han sido bootstrapeados en IRS nominal fijo, por lo que hay un ajuste de convexidad por la covarianza entre el monto nominal de reset y la tasa de libor.