Barrera Opción de Salto de Difusión

Question

Estoy tratando de precio de una Opción Barrera bajo un modelo con los saltos. Estoy usando un puente browniano, pero lucha con los saltos alrededor de estos puentes y no sé cómo manejar esto.

Mi principal problema es que supongo que tendría que definir $S(t)_{before}$ e $S(t)_{after}$ además a mi los puntos de cuadrícula. Sin embargo, ¿cómo que la influencia de mi "barrera no ha sido probabilidad de golpe" dado que es básicamente el no $dt$ entre "antes" y "después" de salto y el cambio no es impulsado por el movimiento browniano, pero el salto.

Puede alguien me apunte en la dirección correcta? :)

Saludos cordiales, Alex

Mi Ingenuo Código:

if S0 <= B
P0 = 0;
time = toc;
epsilon = 0;
elseif S0 > B

dt = T/NumberOfSteps;
KBar = exp(Mu+0.5*Delta^2)-1;

S = zeros(NumberOfSimulations, NumberOfSteps);
S(:,1) = S0;

prob = ones(NumberOfSimulations,1);

Z = randn(NumberOfSimulations,NumberOfSteps);

if Lambda ~= 0
Nt = poissrnd(Lambda*dt,[NumberOfSimulations,NumberOfSteps]);
end

for i = 1:NumberOfSimulations
for t=1:NumberOfSteps

LnJ = 0;
if Lambda ~= 0
if Nt(i,t) > 0
LnJ = sum(normrnd(Mu,Delta,[Nt(i,t),1]));
end
end

S(i,t+1) = S(i,t).exp((r - q - LambdaKBar-0.5*Sigma^2)dt + Sigmasqrt(dt).Z(i,t));
prob(i) = prob(i).(1 - exp(-2*max(S(i,t+1)-B,0).*max(S(i,t)-B,0)./(Sigma^2*dt*S(i,t).^2)));

%Jump
if S(i,t+1)*exp(LnJ) <= B
prob(i) = prob(i)*0;
elseif S(i,t+1)*exp(LnJ) > B
prob(i) = prob(i)*1;
end

S(i,t+1) = S(i,t+1)*exp(LnJ);
end
end

ST = S(:,end);

if strcmp(OptionType,'Call')
Payoff = prob.exp(-rT).*max(ST - K,0);
elseif strcmp(OptionType,'Put')
Payoff = prob.exp(-rT).*max(K - ST,0);
end

Answer 1

El uso de un pre-definido fijo de la cuadrícula de tiempo no es exactamente correcta ya que no sabes cuando en un intervalo de tiempo que el salto se ha producido.

La forma correcta es realizar una simulación de los puntos de tiempo de los saltos y, a continuación, los valores del proceso $S(t)_{before}$ e $S(t)_{after}$ por un Browniano incremento. Lo segundo, depende de el tiempo entre los saltos. De esta manera usted puede tener sólo uno de los intervalos (si no salto se produjo) con una Browniano incremento o muchos en su horizonte de tiempo.

En el caso de la opción barrera características de un reembolso, usted también necesita el exacto saltar varias veces de manera explícita.

Usted puede simular el salto veces a través de la exponencial r.v.'s, o, alternativamente, a través de la elaboración de una uniforme y re-orden (ver el libro por Sato (1999), prop. 3.4); esto puede ser más rápido si la intensidad es grande.