Browian movimiento: $P(B_1<4 | B_2 =1)$

Question

Quiero calcular el $P(B_1<4 | B_2 =1)$ para el B. M.

Lo que he intentado: $P(B_1<4 | B_2 =1)=P(B_1 - B_2 < 3- B_2 | B_2 =1)$

pero no puedo utilizar cualquier independencia para calcular más.

Answer 1

Considerar las múltiples variables normalmente distribuidas vector $(B_1,B_2)$, en particular
$ \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \end{pmatrix} $ ~$N $$\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \right) $.

Entonces se cumple que $B_1 |B_2=1$ ~$ N(1,1/2) $ (la wikipedia).

Answer 2

Esto está relacionado con el concepto de la Puente Browniano.

Si $B_t$ es el movimiento Browniano, a continuación, $W_t$ se define como $$ W_t = (B_t|B_T = 0) $$ es el puente Browniano con punto final $0$. Hay versión con $a$ e $b$ también.

Usted sabe dónde comienza y dónde termina (por eso es el puente) y hay incertidumbre en el medio. Se podía leer en el tema. Si acabo de citar la wikipedia, a continuación, para $B_(t_1) = a$ e $B_(t_2) = b$ el puente Browniano es normal con una media de $$ a + \frac{t-t_1}{t_2-t_1}(b-a) $$ y la covarianza entre el $W(s)$ e $W(t)$ $$ \frac{(t_2-t)(s-t_1)}{t_2 - t_1}. $$

Por lo tanto, en tu caso, atamos el puente Browniano en $B_0 = 0$ entonces $t_1 = 0$ y $a=0$, $t_2 = 2$ y $b = 1$ y usted tiene que encontrar la probabilidad de que el puente Browniano en el tiempo $1$ es de menos de $4$.

Answer 3

Aquí es lo que he encontrado:

$P(B_1<4 |B_2 =1) =P(2B_1 -B_2 < 7 |B_2 =1) =P(2B_1 -B_2<7 )= P(\sqrt{2} Z<7 ) = N(7/ \sqrt{2})$ donde $Z$ es el estándar normal de r.v.. He utilizado el hecho de $2B_1 -B_2 $ es indep de $B_2$ desde que se multivariante normal y su covarianza es 0.