Juego de suma cero, juego de suma constante

Question

Dado cualquier juego de suma cero bilateral G, demuestra que el perfil de estrategia es un equilibrio de Nash para G si, y solo si, es un equilibrio de Nash para el juego de suma constante G' obtenido de G al agregar una cantidad fija "d" a las ganancias de ambos jugadores. ¿Se ve afectada la conclusión si la cantidad fija, llamémosla ahora $d_i$ para cada i = 1 , 2 , difiere entre los dos jugadores?

Answer 1

Supongamos que $(\sigma_1^*, \sigma_2^*)$ es el Equilibrio de Nash del juego $G$ que consiste en los jugadores $\{1,2\}$ con conjuntos de estrategias $A_1$ y $A_2$ y funciones de pago $u_1:A_1\times A_2 \rightarrow \mathbb{R}$ y $u_2:A_1\times A_2 \rightarrow \mathbb{R}$. Consideremos el juego $G'$ en el que todo lo demás es igual que en $G$ excepto que las funciones de pago son $v_1:A_1\times A_2 \rightarrow \mathbb{R}$ y $v_2:A_1\times A_2 \rightarrow \mathbb{R}$ definidas como: $v_1(a_1, a_2) = u_1(a_1, a_2) + d_1$ y $v_2(a_1, a_2) = u_2(a_1, a_2) + d_2$. Mostraremos ahora que $(\sigma_1^*, \sigma_2^*)$ también es el Equilibrio de Nash de $G'$.

Dado que $(\sigma_1^*, \sigma_2^*)$ es el Equilibrio de Nash de $G$, \begin{eqnarray*} \mathbb{E}(u_1(\sigma_1^*, \sigma_2^*)) \geq \mathbb{E}(u_1(\sigma_1, \sigma_2^*)) & & \forall \sigma_1 \in \Delta (A_1) \\ \mathbb{E}(u_2(\sigma_1^*, \sigma_2^*)) \geq \mathbb{E}(u_2(\sigma_1^*, \sigma_2)) & & \forall \sigma_2 \in \Delta (A_2) \end{eqnarray*}

Lo anterior también se puede reescribir como \begin{eqnarray*} \mathbb{E}(u_1(\sigma_1^*, \sigma_2^*)) + d_1 \geq \mathbb{E}(u_1(\sigma_1, \sigma_2^*)) + d_1 & & \forall \sigma_1 \in \Delta (A_1) \\ \mathbb{E}(u_2(\sigma_1^*, \sigma_2^*)) + d_2 \geq \mathbb{E}(u_2(\sigma_1^*, \sigma_2)) + d_2 & & \forall \sigma_2 \in \Delta (A_2) \end{eqnarray*}

Debido a que $d_1$ y $d_2$ son constantes, podemos llevarlos dentro de la esperanza y reescribir las desigualdades anteriores como: \begin{eqnarray*} \mathbb{E}(u_1(\sigma_1^*, \sigma_2^*) + d_1) \geq \mathbb{E}(u_1(\sigma_1, \sigma_2^*) + d_1) & & \forall \sigma_1 \in \Delta (A_1) \\ \mathbb{E}(u_2(\sigma_1^*, \sigma_2^*) + d_2) \geq \mathbb{E}(u_2(\sigma_1^*, \sigma_2) + d_2) & & \forall \sigma_2 \in \Delta (A_2) \end{eqnarray*}

Por definición de $v_1$ y $v_2$,

\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(v_1(\sigma_1^*, \sigma_2^*)) \geq \mathbb{E}(v_1(\sigma_1, \sigma_2^*)) & & \forall \sigma_1 \in \Delta (A_1) \\ \mathbb{E}(v_2(\sigma_1^*, \sigma_2^*)) \geq \mathbb{E}(v_2(\sigma_1^*, \sigma_2)) & & \forall \sigma_2 \in \Delta (A_2) \end{eqnarray*}

Por lo tanto, $(\sigma_1^*, \sigma_2^*)$ también es el Equilibrio de Nash de $G'$.

Answer 2

Permíteme tomar prestada mi respuesta aquí.

La respuesta breve es que agregar valores constantes, incluso aquellos que difieren entre los jugadores, no cambiará el conjunto de equilibrios de Nash.

Esto es fácil de ver a partir de la definición de equilibrio de Nash.

Deja que $u_i$ represente las ganancias del jugador $i$ como una función de las estrategias de todos los jugadores. Un perfil de estrategia $\sigma= (\sigma_i , \sigma_{-i})$, donde $\sigma_i$ es la estrategia del jugador $i$ y $\sigma_{-i}$ es un vector con las estrategias de todos los demás jugadores, es un equilibrio de Nash si, para cada jugador $i$,

$$ u_i (\sigma_i , \sigma_{-i}) \ge u_i (\sigma_i^\prime ,\sigma_{-i}) $$

para cualquier otra estrategia $\sigma_i^\prime$ del jugador $i.

Deja que $v_i = u_i + d_i$, para cada $i$, y deja que $\sigma$ sea un perfil de estrategia de equilibrio de Nash bajo $u_i$. Dado que agregar una constante a ambos lados preservará la desigualdad anterior, también debe ser el caso que

$$ v_i (\sigma_i , \sigma_{-i}) \ge v_i (\sigma_i^\prime ,\sigma_{-i}) $$

para todos los $i$ y $\sigma_i^\prime$, por lo que $\sigma$ también es un perfil de estrategia de equilibrio de Nash bajo el conjunto modificado de funciones de pago.

De hecho, es una suposición estándar en la teoría de juegos que las funciones de pago representan preferencias que satisfacen los axiomas de utilidad de von Neumann-Morgenstern. Esto implica que los órdenes de preferencia son preservados por transformaciones afines de las funciones de utilidad. (En este contexto, una transformación afín es simplemente la multiplicación por un número positivo y la adición de constantes arbitrarias a las funciones de pago.)

Answer 3

Otras respuestas tomaron el enfoque teórico del juego, yo tomaré el enfoque de utilidad. Agregar un número real $d_i$ a todos los pagos de un jugador es una transformación afín de dichos pagos. Esto no cambia las preferencias del jugador incluso cuando se trata de pagos esperados. Por lo tanto, la deseabilidad de los resultados no cambia desde la perspectiva del jugador, por lo tanto, las mejores respuestas permanecen iguales.