Creo que el eslabón faltante para usted es no darse cuenta de que $Q$ es en realidad igual a $q_1 + q_2$: en un duopolio, cantidad demandada sólo puede ser derivada de las dos empresas en cuestión. Con esto en mente, podemos reescribir el beneficio funciones para las empresas en términos de $q_1$ e $q_2$ y, a continuación, optimizar con respecto a la $q$'s en consecuencia (desde Cournot la competencia es la competencia sobre cantidades). Nos vamos a quedar con dos mejor respuesta de funciones, una que indica el nivel óptimo de $q_1$ como una función de la $q_2$ y otro que indica el nivel óptimo de $q_2$ como una función de la $q_1$. Entonces, sólo se convierte en un problema de álgebra para encontrar el equilibrio de Nash y la relación de las cantidades y los beneficios entre las empresas de las que se pondrá de manifiesto.
Firma 1 maximiza los beneficios
\begin{align*}
\Pi_1(q_1) = (\alpha - (q_1 + q_2))q_1 - c_1 q_1.
\end{align*}
La primera condición es el fin de
\begin{gather*}
\frac{d \Pi_1(q_1)}{dq_1} = 0 \\
\implies \alpha - 2q_1 + q_2 = c_1 \\
\implies q_1(q_2) = \frac{\alpha - c_1}{2} + \frac{q_2}{2}.
\end{reunir*}
Del mismo modo, la Firma 2 maximiza los beneficios
\begin{align*}
\Pi_2(q_2) = (\alpha - (q_1 + q_2))q_2 - c_2 q_2.
\end{align*}
La primera condición es el fin de
\begin{gather*}
\frac{d \Pi_2(q_2)}{dq_2} = 0 \\
\implies \alpha - 2q_2 + q_1 = c_2 \\
\implies q_2(q_1) = \frac{\alpha - c_2}{2} + \frac{q_1}{2}.
\end{reunir*}
Resolviendo el sistema de ecuaciones para $q_1$ e $q_2$rendimientos
\begin{align*}
q_1^* &= \frac{\alpha - 2c_1 + c_2}{3} \\
q_2^* &= \frac{\alpha - 2c_2 + c_1}{3},
\end{align*}
lo que implica que $\mathbf{q_1^* > q_2^*}$ desde $c_1 < c_2$.
Tenga en cuenta que tanto las empresas enfrentan el mismo precio $P^* = \alpha - (q^*_1 + q^*_2)$. Por lo tanto, tenemos que
\begin{align*}
(P^* - c_1)q_1^* &> (P^* - c_2)q_2^* \\
\implies \mathbf{\Pi^*_1} &> \mathbf{\Pi^*_2}.
\end{align*}
