¿El CAPM utiliza el modelo de índice único?

Question

Cuando derivamos el CAPM (es decir, encontramos ecuaciones para la línea del mercado de capitales y la línea del mercado de valores), en ningún momento asumimos que el rendimiento del valor individual depende linealmente del rendimiento del mercado (es decir, el modelo de un solo índice)

Sin embargo, cuando interpretamos el CAPM, decimos que el rendimiento esperado de un valor individual depende solo de su riesgo no diversificable, que denotamos con beta (). Pero ver () como la medida de no diversificación solo está justificada por la descomposición de la varianza en el modelo de un solo índice.

Entonces la pregunta es, ¿el CAPM requiere asumir el modelo de un solo índice?

(Nota - Para referencia, he incluido la derivación de la línea del mercado de valores en la imagen a continuación, que está tomada del texto Teoría Moderna de Carteras de Francis. Como puede ver, la derivación no asume el modelo de un solo índice)

Answer 1

Para determinar la frontera eficiente de un marco de varianza media, se necesitan estimaciones del rendimiento esperado $r_i$, la varianza $\sigma_i^2$ y la covarianza $\sigma_{ij}^2$ para cada acción $i$, $j$. Para $n$ acciones, tienes que estimar un total de $\frac{n(n-1)}{2}$ coeficientes de correlación. Se utilizan modelos de índice para reducir esta gran cantidad de estimaciones necesarias.

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Modelos de Índice Único

Se asume que el rendimiento de una acción puede escribirse como $$r_i = a_i + \beta_i r_m + e_i$$ ,donde $r_m$ denota el rendimiento del mercado, $e_i$ un término de error con media cero y $\beta_i$ un beta de acciones. Las principales suposiciones son: $$\operatorname{E}[e_i(r_m-\bar{r}_m]=0$$ $$\operatorname{E}[e_ie_j]=0$$ Esto implica que la única razón por la que las acciones varían juntas, sistemáticamente, es debido a una comovilidad común con el mercado. Se puede demostrar que la covarianza se puede expresar como $$\sigma_{ij}^2 = \beta_i \beta_j \sigma_m^2$$ , donde $\sigma_m^2$ denota la varianza del rendimiento del mercado. En resumen, si se asume el modelo de índice único, solo tienes que estimar un total de $3n+1$ parámetros para $n$ acciones.

CAPM

El CAPM es una teoría económica en equilibrio con más suposiciones para una función de preferencia de utilidad del inversionista, diversificación sin costo,...

Combinar la teoría económica de la diversificación de cartera de Markowitz, utilidades esperadas de Von Neumann y Morgenstern, etc. lleva al CAPM (donde $r^f_t$ denota la tasa de interés libre de riesgo):

$$r_{i,t}-r^f_t = \alpha_i + \beta_i(r^m_t-r^f_t)+ \epsilon_{i,t}$$

, con la siguiente suposición (fuerte):

$$\alpha_i = 0$$

Puedes consultar esta excelente respuesta con más detalles.

Diferencias entre los Modelos de Índice Único y el CAPM

De hecho, el modelo de índice único es solo una técnica estadística, ya que puedes reemplazar $r_m$ con cualquier otra variable que creas que se ajusta mejor para explicar el rendimiento de una acción. Sin embargo, el CAPM es un modelo económico en equilibrio, donde el rendimiento de la cartera de mercado $r_m$ es una cartera claramente determinada (de todos los activos riesgosos, inversiones, también el capital humano...). Ver también esta respuesta:

El $\beta_i$ para una acción en el modelo de índice único no es el mismo $\beta_i$ que en el CAPM.

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Referencia:

Elton/Gruber/Brown/Götzmann (2014), Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, ed. 9, John Wiley & Sons.