Significado de w en SDE

Question

Me falta el significado de $w$ en el típico SDE como $dX_t(w) = f_t(X_t(w)) + \sigma(X_t(w))dW_t$ en el contexto de $w \in F_{xxx}$ . ¿Significa esto que ambos

1. $w$ es uno de los eventos que podrían ocurrir antes del momento $xxx$
2. Si arreglamos $w$ entonces esta SDE se convierte en determinista

?

Answer 1

En general, las EDE se definen en un espacio de probabilidad que consiste en un triplete $(\Omega, P, B)$ El espacio $\Omega$ una medida de probabilidad $P$ y un álgebra sigma $B$ . En resumen, el álgebra sigma consiste en el conjunto de todos los eventos a los que podemos asignar probabilidad.

En el caso de las EDE impulsadas por el movimiento browniano, este espacio de probabilidad es el llamado espacio de Wiener, que consiste en $\Omega = C([0,T])$ el espacio de las funciones continuas dotado de la topología uniforme. El álgebra sigma es la generada por los conjuntos abiertos bajo esta topología, y $P$ es la llamada medida de Weiner, que esencialmente dice que la proyección $$\pi( \omega ) = \omega(t), \quad \omega \in \Omega,$$ es un movimiento browniano. Así, por ejemplo, bajo esta medida, $$ P \{ \omega \in \Omega: \omega \text{ is differentiable } \} = 0. $$

Esta es la $\omega$ a veces se ve escrito en los libros de matemáticas.