¿Cuál es la diferencia entre la no sedimentación local y la monotonicidad?

Question

¿Existe una diferencia práctica entre la no sedimentación local y la montonicidad? ¿Puede existir una función de utilidad sin la otra?

Answer 1

La monotonicidad de las preferencias es una más fuerte condición que la no-causalidad local. La monotonicidad implica la no gradación local, pero no al revés.

Para ver esto:

Reclamación: Dejemos que $\succsim$ sea una relación de preferencia monótona sobre $\mathbb{R}^n_{+}$ . Por lo tanto, $\succsim$ es localmente no cuantiosa.

Prueba: Arreglar algunos $\varepsilon > 0$ . Sea un número arbitrario de $x \in \mathbb{R}^n_{+}$ y que $\mathbf{1} \in \mathbb{R}^n_{+}$ sea el vector unitario. Para cualquier $\lambda > 0$ También tenemos $x + \lambda \mathbf{1} \in \mathbb{R}^n_{+}$ . Ya que claramente $x + \lambda \mathbf{1} \gg x,$ $x + \lambda \mathbf{1} \succ x$ por monotonicidad. Consideremos la siguiente métrica sobre $\mathbb{R}^n_{+}$ :

$$ d(x+\lambda \mathbf{1}, x) = ||x+\lambda \mathbf{1} -x|| = \lambda||\mathbf{1}|| = \lambda \sqrt{n}. $$

Así, para $\lambda < \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}}$ , $d(x+\lambda \mathbf{1}, x) < \varepsilon$ Sin embargo, $x + \lambda \mathbf{1} \succ x$ . Desde $x$ era arbitrario, la existencia de dicho punto implica que $\succsim$ es localmente no cuantiosa. $\blacksquare$

Para demostrar que las preferencias localmente no cuantificadas no implican preferencias monótonas, se puede llegar a una función de utilidad $u(\cdot)$ sobre varios bienes que aumenta estrictamente con respecto a algunos de los bienes pero alcanza un punto de saciedad para al menos uno de los otros. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2_{+}$ :

$$ u(x_1,x_2) = x_1 - |1-x_2|. $$

Un consumidor con estas preferencias está saciado con respecto a $x_2$ en $x_2=1$ .