¿Puede por favor explicar Martingale Representation Theorem de una manera no técnica que qué es y por qué se requiere?
La mayoría de las cosas que he estudiado hasta ahora son bastante técnicas, y no he podido captar la intuición subyacente.
Permítanme dar mi intuición como antiguo ingeniero eléctrico. Esto va a ser muy descuidado.
Supongamos que tenemos un movimiento browniano con incrementos (o "término de ruido" en lenguaje EE) $dB_t$ . Obviamente se puede generar una martingala integrando estos términos de ruido $B_t=\int_0^tdB_t$ . Pero también se pueden generar otras martingalas variando la "amplitud" con la que se aplican los mismos incrementos $M_t=\int_0^t A(t)dB_t$ . Esto es similar a cambiar el volumen A(t) en una radio mientras suena la música, se obtiene una "música diferente" a partir de los mismos sonidos. Incluso se pueden generar procesos estocásticos que no martingales añadiendo un término de "nivel" que controla el valor esperado $X_t= L(t)+\int_0^t A(t)dB_t$ . Por ejemplo, si $L(t)=\sin(\omega t+\phi)$ puede obtener un proceso que sube y baja (estacionalidad), o si $L(t)=k t$ (tendencia lineal) se puede obtener un submartingale que sube con el tiempo.
El Teorema de la Representación de Martingale dice que, efectivamente, se puede obtener una clase muy grande de procesos aleatorios de esta manera (empezando por $dB(t)$ , integrándolo de forma variable en el tiempo y añadiendo una entrada externa predecible). Los únicos que no se pueden conseguir son los casos patológicos como los procesos que no adaptado a la misma filtración, es decir, dependen de un conjunto diferente de acontecimientos aleatorios. Las condiciones técnicas precisas son, por supuesto, muy importantes, y las omito. Pero la cuestión es que muchos procesos interesantes pueden descomponerse ("representarse") de esta manera (integral de $dB_t$ y algo más).
En primer lugar, dejemos claro el hecho de que si un proceso es una martingala para alguna medida de probabilidad, puede no serlo bajo una medida de probabilidad diferente. (véase el teorema de Girsanov).
Ahora bien, intuitivamente, el teorema de la representación de Martingale (MRT) dice que si un proceso $M(t)$ es una martingala con respecto a la filtración generada por el movimiento browniano ( $W$ ) (la filtración puede entenderse intuitivamente como la trayectoria generada por el movimiento browniano hasta algún tiempo 's' ). Entonces $M(t)$ se puede escribir como:
$dM(t) = D(u)dW(u)$
No hay $dt$ en la ecuación anterior, lo que significa que el proceso $M(t)$ no tiene tendencia a subir o bajar (precisamente lo que es una martingala).
Integrar lo anterior,
$M(T) = M(0) + $$ \int_0^T D(u) \N, dW(u)$
aquí, W representa el movimiento browniano.
$D(u)$ es un proceso adaptado a la misma filtración generada por el movimiento browniano.
( $D(u)$ se adapta básicamente significa conocer la filtración hasta el tiempo $t$ implica que sabemos $D(u)$ en algún momento $t$ )
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
