Precios de las opciones de compra y de venta americanas, que aumentan en el vencimiento

Question

Demuestre que los precios de las opciones de compra y de venta americanas aumentan en el vencimiento $T$ .

¿Significa esto que tengo que demostrar que como $T$ que los precios de las opciones de compra y venta americanas también aumenten? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

En el caso de las opciones americanas, cuanto más largo sea el vencimiento, más opciones habrá para el momento óptimo de los ejercicios, por lo que el valor de la opción será mayor. Por ejemplo, consideremos los vencimientos $T_1$ y $T_2$ para la misma opción, pero con diferentes vencimientos. Cualquier tiempo de ejercicio óptimo dentro de $[0, T_1]$ es un posible tiempo de ejercicio dentro de $[0, T_2]$ con un mejor tiempo posiblemente caiga en $(T_1, T_2]$ .

Formalmente, el valor de una opción americana, con vencimiento $T$ viene dada por \begin{align*} \sup_{\tau\in \mathcal{T}_{[0,T]}}E\Big(e^{-r\tau}\max\big(\phi(S_{\tau}-K, 0) \big)\Big), \end{align*} donde $\mathcal{T}_{[0,T]}$ es el conjunto de tiempos de parada con valores en $[0, T]$ . Aquí, $\phi=1$ para una llamada y $-1$ para una puesta. Tenga en cuenta que, para $0 < T_1 < T_2$ , $\mathcal{T}_{[0, T_1]} \subset \mathcal{T}_{[0,T_2]}$ . Por lo tanto, \begin{align*} \sup_{\tau\in \mathcal{T}_{[0,T_1]}}E\Big(e^{-r\tau}\max\big(\phi(S_{\tau}-K, 0) \big)\Big) \le \sup_{\tau\in \mathcal{T}_{[0,T_2]}}E\Big(e^{-r\tau}\max\big(\phi(S_{\tau}-K, 0) \big)\Big). \end{align*} Es decir, los precios de las opciones de compra y venta americanas aumentan su vencimiento $T$ .

Answer 2

Las opciones americanas son al menos tan caras como sus homólogas europeas. Por tanto, basta con argumentar que las opciones europeas aumentan su valor a medida que se prolonga el tiempo hasta el vencimiento, dado que las demás métricas permanecen iguales. Esto se debe al "valor temporal" de las opciones.

Por otra parte, el tiempo más largo le da más oportunidad de ejercicio temprano, que se suma en valores de adición cero o positivo. Así, las opciones tienen más valor.

Se unen dos factores, las opciones americanas aumentan su valor a medida que aumenta el tiempo hasta el vencimiento.