El Peso óptimo del riesgo de la Cartera de

Question

"Supongamos que el inversor tiene una función de utilidad cuadrática. Es decir,

$$U \left[ W \right] = W - \frac{1}{250}W^2.$$

Suponga que el inversionista es maximizar su utilidad esperada y es pensando en invertir $100 en el activo libre de riesgos, que los rendimientos de 3% por año o para un activo arriesgado que los rendimientos de 10% por año con probabilidad 0.5 y 2% con una probabilidad de 0.5

¿Cuál es el peso óptimo en el riesgo de la cartera?"

Answer 1

Sea y el % invertido en el riesgo de la cartera. \begin{eqnarray*} E(W) &=& p_1W_1 + p_2W_2\\ &=&0.5(y\cdot1.1\cdot100 + (1-y)\cdot1.03\cdot100) + 0.5(y\cdot0.98\cdot100 + (1-y)\cdot1.03\cdot100)\\ &=&103+y \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} E(W^2) &=& p_1W_1^2 + p_2W_2^2\\ &=&0.5(y\cdot1.1\cdot100 + (1-y)\cdot1.03\cdot100)^2 + 0.5(y\cdot0.98\cdot100 + (1-y)\cdot1.03\cdot100)^2\\ &=&0.5[(103+7y)^2 + (103-5y)^2] \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} E(U[W]) &=& E(W) - \frac{1}{250}\ E(W^2)\\ &=&103+y-\frac{1}{500}\ [(103+7y)^2 + (103-5y)^2]\\ \frac{dEU}{dy}\ &=& 0\\ .\\ .\\ .\\ y &=& \frac{22}{37}\ \end{eqnarray*}