Log-linearización de la condición de compensación del mercado

Question

Estoy tratando con un papel de Walsh & Ravenna.

www.banque-france.fr/fondation/gb/telechar/bourses_recherche/Welfare-based_Ravenna.pdf

Me confunde la ecuación (19) de la página 33.

La condición de compensación del mercado es la siguiente:

$$Y_{t} = C_{t} - w^{u}(1 - N_{t}) + \kappa\upsilon_{t}$$

La linealización logarítmica en torno al estado estacionario da como resultado

$$\hat{y}_{t} = \frac{\bar{C}}{\bar{Y}}\hat{c}_{t} - w^{u}\hat{n}_{t} + \left( \frac{\kappa\bar{\upsilon}}{\bar{Y}}\right)(\hat{\Theta}_{t} + \hat{u}_{t} ) \;\;\; \mathbf{(19)} $$

No sé cómo se obtiene esta fórmula (19). ¿No falta algo? Desde mi comprensión básica de la linealización logarítmica debería ser así:

$$\hat{y}_{t} = \frac{\bar{C}}{\bar{Y}}\hat{c}_{t} - \left( \mathbf{\frac{\bar{N}}{\bar{Y}}} \right) w^{u}\hat{n}_{t} + \left( \frac{\kappa\bar{\upsilon}}{\bar{Y}}\right)(\hat{\Theta}_{t} + \hat{u}_{t} )$$

con $$ Y_{t}\;\;...\;\; output $$ $$ C_{t}\;\;...\;\; consumption $$ $$ w^{u}\;\;...\;\; wage\;of\;unmatched\;workers $$ $$ 1-N_{t}\;\;...\;\; unmatched\;workers $$ $$ w^{u}(1-N_{t})\;\;...\;\;home\;production$$ $$ \kappa\;\;...\;\; cost\;of\;posting\;vacancy $$ $$ v_{t}\;\;...\;\; vacancies $$ $$ \hat{v}_{t} = (\hat{\Theta}_{t} + \hat{u}_{t} ) $$ $$ \omega = \frac{v_{t}}{u_{t}}\;\;...\;\;measure\;of\;labour\;market\;tightness$$ $$ \hat{\cdot}\;\;...\;\;log\;deviation\;from\;steady\;state\;value$$ $$ \bar{\cdot}\;\;...\;\;steady\;state\;value$$

Letra minúscula con un sombrero: desviación logarítmica de una variable respecto a su estado estacionario. Letra grande con una barra: valor en estado estacionario. K: coste de publicación de una oferta de empleo. w^u: "salario" de los trabajadores en paro.

He leído el documento y el apéndice también, leer tanto los documentos en la bibliografía de este, así como los posteriores sobre la base de esta publicación, pero no pude encontrar una pista útil.

¿Existe alguna relación especial entre N e Y en el estado estacionario que explique por qué desaparece todo este término? ¿O es que no entiendo bien la log-linealización?

Tengo que disculparme por mi inglés oxidado. Ya me estoy ocupando de este problema. Pero para lo anterior me gustaría contar con su ayuda. ¿Alguien tiene una pista decisiva?

Answer 1

Tenemos:

$$y_t = c_t − w^u(1 − N_t) + \kappa v_t$$

Tomamos el logaritmo de ambas partes:

$$\ln y_t = \ln \left[ c_t − w^u(1 − N_t) + \kappa v_t \right]$$

Y luego linealizar alrededor de los estados estacionarios:

$$\begin{align} \ln \bar{y} + \frac{1}{\bar{y}}(y_t - \bar{y}) & = \ln \left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right] + \frac{1}{\left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right]}(c_t - \bar{c}) \\ & + \frac{w_u}{\left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right]}(N_t - \bar{N}) \\ & + \frac{\kappa}{\left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right]}(V_t - \bar{V}) \end{align} $$

Cancelar $\ln \bar{y}$ et $\ln \left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right]$

$$\begin{align} \frac{1}{\bar{y}}(y_t - \bar{y}) & = \frac{1}{\left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right]}(c_t - \bar{c}) \\ & + \frac{w_u}{\left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right]}(N_t - \bar{N}) \\ & + \frac{\kappa}{\left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right]}(V_t - \bar{V}) \end{align} $$

Multiplica el primer término de la parte derecha por $\frac{\bar{c}}{\bar{c}}$ y lo mismo para los demás términos:

$$\begin{align} \frac{1}{\bar{y}}(y_t - \bar{y}) & = \frac{\bar{c}}{\left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right]}\frac{(c_t - \bar{c})}{\bar{c}} \\ & + \frac{w_u \bar{N}}{\left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right]}\frac{(N_t - \bar{N})}{\bar{N}} \\ & + \frac{\kappa \bar{V}}{\left[ \bar{c} - w^u(1-\bar{N}) + \kappa \bar{V} \right]}\frac{(V_t - \bar{V})}{\bar{V}} \end{align} $$

Y simplificamos, aprovechando que $\hat{v}_t = \hat{\theta}_t + \hat{u}_t$ para conseguir lo que tienes:

$$\hat{y}_t = \frac{\bar{C}}{\bar{Y}}\hat{c}_t + w^u \frac{\bar{N}}{\bar{Y}} \hat{n}_t + \left( \frac{K\bar{V}}{\bar{Y}} \right) (\hat{\theta}_t + \hat{u}_t) $$

No creo que esta derivación sea errónea. Pero se puede ver que $y_t$ et $N_t$ son directamente proporcionales entre sí. Es definitivamente plausible que $\frac{\bar{N}}{\bar{Y}} = 1$ pero he estudiado las ecuaciones de la configuración durante 3 horas sin éxito para demostrarlo rigurosamente. Probablemente es algo tonto que no entiendo. Lo miraré más tarde y si no, convertiré esta respuesta en un wiki de la comunidad para que cualquiera que tenga la idea correcta pueda editarla.