la comprensión de la prueba de dominancia estocástica.

Question

$\int_a^b u(x)dF(x)$ (1)$ = u(t)F(t)|_a^b - \int_a^b F(t)u^\prime(t)dt$ (2)$ = u(b)-\int_a^b F(t)u^\prime(t)dt$

$= u(b)-(\Phi(t)u^\prime(t)|_a^b-\int_a^b \Phi(t)u^{\prime\prime}(t)dt=u(b)-\Phi(b)u^\prime(b)+\int_a^b \Phi(t)u^{\prime\prime}(t)dt$.

De (1) a (2), sé que es una derivada parcial, pero shoudn no ser $u(t)F(t)|_a^b - \int_a^b F(t)u^\prime(t)dF(t)$?? ¿Cómo podemos transformar $dF(t)$ a $dt$?

También quiero saber por qué $\Phi(b)$ no es igual a 1.

Puedo adjuntar el documento original en caso de que la información no es suficiente.

Answer 1

Eso es sólo una cuestión de notación. Tenga en cuenta que

$$\mathcal{d}F(t) = f(t)\mathcal{d}t$$

A continuación, la prueba debe ser fácil de entender.

Answer 2

Su primer tema fue abordado en otra respuesta. Para la segunda pregunta (¿por qué $\Phi(b) \ne 1$), se están confundiendo a la cdf y la densidad. Es cierto que $\int_{a}^{b}{f(t)dt}=1$ pero no se que $\int_{a}^{b}{F(t)dt}=1$. Pensar por ejemplo de $[a,b]=[0,1]$ y la distribución uniforme ($f(t)=1,F(t)=t$ para todos los $t \in [0,1]$).