Tengo una pregunta sobre el punto de partida de la derivación de las fórmulas de volatilidades SABR en el apéndice del famoso documento "Managing Smile Risk" de Hagan et al.
Para derivar las fórmulas de volatilidad SABR es necesario :
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resolver una ecuación diferencial para la densidad de probabilidad conjunta sobre los valores del subyacente y la volatilidad del subyacente
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calcule el precio de una opción europea integrando el beneficio por la densidad de probabilidad encontrada en el punto 1
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igualar el precio hallado en el punto 2 con el precio de la misma opción calculado suponiendo una dinámica Black (o Bachelier) y resolviendo para la volatilidad constante de esta última.
Mi pregunta se refiere a la integración mencionada en el punto 2:
En el artículo original, Hagan et al. realizan dicha integración a partir de $K$ a $\infty$ en el dominio subyacente (y esto está bien) pero integrar desde $-\infty$ a $\infty$ en el ámbito de la volatilidad y esto me parece bastante extraño.
Además utilizan este hecho para dejar que algunos términos de la integral vayan a $0$ (véase después de la ecuación A6).
La volatilidad es un número positivo por definición, así que ¿no debería estar prohibida la integración de una densidad de probabilidad sobre valores negativos de la volatilidad? ¿Alguien tuvo la misma duda al leer el artículo de Hagan et al.?