¿Por qué no llevamos el diferencial al Delta en la cartera de cobertura Delta

Question

Para la opción $V(S,t)$ con el activo subyacente $S$ tenemos una cartera de cobertura $$\Pi = V(S,t) - \Delta(S,t)S$$ Siempre confundo aquí, cuando tomamos el diferencial de $\Pi$ $$d\Pi = dV -\Delta dS$$ por qué no tenemos que tomar el diferencial para $\Delta(S,t),$ Creo que debería ser $$d\Pi = dV -d(\Delta S).$$ Llamamos al seto delta self-financing, ¿alguien puede mostrarme una razón clara?

Answer 1

Nota : He editado la respuesta para dar una interpretación más clara de la condición de autofinanciación.

Precisemos la notación: $C_t$ es el precio derivado; $S_t$ de las acciones; $B_t$ de los bonos; $w_C(t)$ , $w_S(t)$ y $w_B(t)$ las participaciones en opciones, acciones y bonos, respectivamente; $C_T=h(S_T)$ el pago de la opción, que suponemos es europeo, por lo que $T$ es el vencimiento del derivado.

En primer lugar, la ecuación que has escrito no es exactamente correcta, porque como se ha explicado varias veces en este sitio no se puede conseguir una cartera autofinanciada manteniendo una opción y simplemente ajustando la tenencia de acciones: de hecho, no se puede cubrir dinámicamente un opción sólo con $w_S(t)$ acciones, porque cuando pasa el tiempo y $w_S(t)$ cambios, la única forma de cambiar su asignación $-$ su participación $w_S(t)$ $-$ es inyectar o retirar dinero de su cartera, por lo que necesita más grados de libertad $-$ más pesos $-$ en su ecuación para evitar inyecciones/retiradas de dinero. Ahora bien, hay varias maneras de ver la situación:

• Se puede formar una cartera autofinanciada compuesta por opciones y acciones, en la que las ponderaciones se seleccionan de forma que se anulen todos los términos aleatorios. Como la cartera se autofinancia y además no tiene riesgo, debe ganar la tasa libre de riesgo, por lo tanto:

$$ B_t = w_C(t)C_t+w_S(t)S_t $$

• Puede formar una cartera con una tenencia de acciones y bonos que replique la opción. Por lo tanto, el valor de su cartera debe ser igual al valor de la opción en cualquier momento:

$$ C_t = w_S(t)S_t+w_B(t)B_t $$

Consideremos la segunda perspectiva, es decir, formemos una cartera compuesta por acciones y bonos que repliquen la opción:

$$ C_t = w_S(t)S_t+w_B(t)B_t $$

Ahora, por qué la cartera debe autofinanciarse ? Piensa en ti mismo como el escritor de la opción $-$ es decir vendedor $-$ y asumir que la opción se vende a $t=0$ y que usted cobra su valor justo: su cliente le paga entonces la prima de la opción $\pi$ hoy a cambio de lo cual espera que usted liquide el pasivo $h(S_T)$ al vencimiento $T$ . Porque está cobrando el valor razonable de la opción $-$ Se puede racionalizar esta suposición considerando que, en un entorno de mercado líquido y competitivo, los participantes en el mercado obligarán a las primas de las opciones a converger hacia su valor razonable, es decir no hay arbitraje $-$ implica que, de alguna manera, deberías ser capaz de cumplir con tu obligación financiera en $T$ asignando adecuadamente el efectivo $\pi$ y sólo esa suma : no debe añadir ni recuperar dinero en efectivo a lo largo de la vida del contrato. En otras palabras, la prima $\pi$ debe ser la cantidad necesaria para finanzas su responsabilidad $h(S_T)$ en $T$ Por lo tanto, esta suma puede asignarse dinámicamente a las acciones y a los bonos a lo largo del período $[0,T]$ para tener el valor $C_T=h(S_T)$ en $T$ a su disposición para pagar a su cliente. Considere las alternativas a esta situación:

• Necesitas añadir efectivo a tu posición en algún momento $t \in [0,T]$ : esto sería una pérdida para ti, algo que quieres evitar para no hacerlo. Usted fijará $\pi$ para evitarlo;
• Puedes recuperar el dinero de tu posición en algún momento $t \in [0,T]$ : estaría extrayendo valor de su cliente. Como hemos asumido que estamos en un entorno de mercado competitivo, otros redactores de opciones cobrarán precios más bajos y, por tanto, usted perderá a su cliente. Se verá obligado a fijar $\pi$ para evitar esto $-$ si no quiere perder a sus clientes.

Hemos establecido que no debe haber ni inyecciones ni recuperaciones de efectivo a lo largo de la vida de la operación. Por lo tanto, esto implica que el impacto neto del reequilibrio de la cartera sobre el valor de la misma debe ser nulo . Aplicación del lema de Ito en $dC_t$ Esto equivale a verificar la siguiente condición de autofinanciación:

$$ S_tdw_S(t) + dw_S(t)dS_t + B_tdw_B(t) + dw_B(t)dB_t = 0 \qquad (1) $$

$(1)$ implica que la cartera replicante evoluciona según:

$$ dC_t = w_S(t)dS_t+w_B(t)dB(t) \qquad (2) $$

A saber, el valor de la cartera sólo debería cambiar debido a las fluctuaciones de los precios de las opciones, las acciones y los bonos .

Ahora bien, esto no significa que $w_S$ y $w_B$ no pueden cambiar a lo largo de la vida de la operación: son funciones que nos indican cuántas acciones y bonos debemos tener en $t$ para poder pagar $h(S_T)$ en $T$ y porque $S_t$ y $B_t$ evolucionan a lo largo del tiempo, por lo que también deben hacerlo sus participaciones. Por lo tanto, deberíamos reequilibrar continuamente nuestras tenencias de acciones y bonos pero la compra de acciones (bonos) adicionales debe financiarse siempre con la venta de bonos (acciones), sin ninguna inyección o sustracción de efectivo .

Por último, tenga en cuenta que la ecuación $(2)$ define una cartera replicante y autofinanciada pero siempre hay que asegurar la condición $(1)$ se cumple En otras palabras, no sólo debemos plantear la ecuación $(2)$ pero también tenemos que asegurarnos de que $w_S(t)$ y $w_B(t)$ se eligen de tal manera que $(1)$ se verifica.

Recomiendo echar un vistazo al ejercicio 4.10, " Comercio de autofinanciación ", en Shreve's Cálculo estocástico para finanzas II donde se discuten y conectan los casos de tiempo discreto y de tiempo continuo.

Answer 2

El delta pretende ser una participación localmente constante en la acción (para crear una cartera sin riesgo instantáneo) y está determinado por el estado actual del sistema, por lo que pasa a través del operador derivado.

Lo visualizo de forma similar a la tangente de una curva: es diferente a medida que te mueves por la curva (es decir, a medida que cambia el estado del sistema) pero es localmente constante y cada vez que pasamos por un punto determinado, recupero la misma tangente.

Al igual que en el caso de Black-Scholes, el delta de mi opción está determinado únicamente por el estado de la economía de mi opción (precio de la acción, cantidad de dinero, tiempo hasta el vencimiento, etc.)

Answer 3

Supongo que una aproximación en tiempo discreto sería útil en este caso. Puedes seguir estos pasos:

1. En el momento t elija $\alpha_t$ y $\Delta_t$ para crear su cartera: $$\Pi_t=\alpha_t B_t +\Delta_tS_t$$
2. En el momento $t+dt$ el valor de su cartera es (preste atención a $\alpha_t$ y $\Delta_t$ ) $$\Pi_{t+dt}=\alpha_t B_{t+dt} +\Delta_t S_{t+dt}$$

Parece claro que para un pequeño cambio en el tiempo, el cambio en el valor de la cartera es: $$d\Pi_t = \Pi_{t+dt}-\Pi_t=\alpha_t(B_{t+dt}-B_t)+\Delta_t(S_{t+dt}-S_t)=\alpha_t dB_t+\Delta_t dS_t$$ Y esto es todo lo que se necesita para calcular el delta de la cartera, dado que se ha fijado en el momento t. El siguiente paso es reequilibrar la cartera (aquí es donde entra en juego la parte de autofinanciación):

3. En el momento $t+dt$ modificar sus activos manteniendo el valor de su cartera (preste atención a $\alpha_{t+dt}$ y $\Delta_{t+dt}$ ): $$\Pi_{t+dt}=\alpha_t B_{t+dt} +\Delta_t S_{t+dt}=\alpha_{t+dt} B_{t+dt} +\Delta_{t+dt} S_{t+dt}$$

Como puede ver, este tercer paso no es necesario para describir la sensibilidad de su cartera con respecto a $S_t$ . Sólo los dos primeros pasos son suficientes, lo que significa que no tiene que preocuparse por $d(\Delta S)$ exactamente por la segunda igualdad de la última ecuación.