Bachelier modelo: número de acciones en replicar la estrategia de

Question

Dado:

Considere la posibilidad de dos activos, de tiempo continuo del modelo (B,S) donde \begin{equation} dB_t = B_t r dt, \quad dS_t = \mu dt + \sigma dW_t. \end{equation} La pregunta es:

1. Muestran que no existe una estrategia de negociación que replica el pago de una call Europea con strike K y la madurez T.

2. Muestran que el número de acciones en el replicar la cartera siempre es no negativo, pero nunca mayor que uno.

Answer 1

Parte 1:

Muestran que no existe una estrategia de negociación que se replica de una Call Europea.

Prueba: de hecho, estoy va a probar una declaración más fuerte: que existe la admisibilidad de una estrategia de negociación que replica los beneficios en este mercado. Por el Primer Teorema Fundamental de la valuación de Activos, no hay arbitraje si existe un cambio de la medida tal que, para todos los activos, la siguiente se tiene: $$X_t=\mathbb{\tilde{E}}[e^{-r(T-t)} X_T | \mathcal{F}_t]$$ Por Girsonav del teorema, el siguiente cambio de la medida pueden ser hechas: $$d\tilde{W}_t=dW_t+\frac{\mu-rS}{\sigma}dt$$ Sustituyendo esto en la dinámica de $$dS_t=\mu dt+\sigma dW_t$$ los rendimientos $$dS_t=rS_tdt+\sigma d\tilde{W}_t $$ El valor esperado de este proceso es $$\mathbb{\tilde{E}}[S_T | \mathcal{F}_t]=S_t+\mathbb{\tilde{E}}\left[\int_t ^ T rS_u du |\mathcal{F}_t\right] $$ Tomando la expectativa dentro de la integral en el lado derecho, $$\mathbb{\tilde{E}}[S_T | \mathcal{F}_t]=S_t+\int_t ^ T r\mathbb{\tilde{E}}\left[S_u |\mathcal{F}_t\right] du $$ Dejando $$f(t, T)=\mathbb{\tilde{E}}[S_T | \mathcal{F}_t]$$ Y tomando el diferencial de ambos lados, $$df=rfdt \implies \frac{df}{dt}=rf$$ Esta es una ODA con condición inicial $$f(t, t)=S_t $$ Esta ODA tiene la solución única $$S_t e^{r(T-t)} $$ Por lo tanto $$\mathbb{\tilde{E}} [S_T e^{-r(T-t)}]=S_t e^{r(T-t)} e^{-r(T-t)}=S_t $$ Por lo tanto, este modelo no admitir el arbitraje. Por el Segundo Teorema Fundamental de la valuación de Activos, existe un único cambio de la medida si y sólo si cada pago puede ser replicado. En este modelo con un solo movimiento Browniano, el cambio de la medida es uno de esos que $$ dS=rS dt+\sigma(dW+\theta dt)=\mu dt+\sigma dW $$ La solución para que theta, $$ rS+\theta \sigma= \mu $$

Claramente esto tiene una solución única, es decir, $$\theta=\frac{\mu-rS}{\sigma} $$

Esto prueba 1.

Parte 2: Mostrar que la Delta de la opción es entre cero y uno.

Por Feynman-Kac y lema de Ito, $$e^{-rt} g(S_t, t, T)=e^{-rT}\mathbb{E}[h(S_T)|\mathcal{F}_t]$$ implica que g tiene la siguiente dinámica: $$\frac{\partial g}{\partial t} dt+\frac{\partial g}{\partial S} dS_t+\frac{\partial^2 g}{2\partial S^2} \sigma^2 dt -rg dt $$ Comparando esto con la dinámica de la auto-financiación de replicar la cartera de $$X_t=\Delta S_t+\Gamma B_t $$ $$dX_t=\Delta dS_t+\Gamma dB_t $$ Por el Primer Teorema Fundamental de la valuación de Activos, $$X_t=g(S_t, t, T) $$ Está claro, pues, que el $$\Delta=\frac{\partial g}{\partial S}$$

La escritura de la expectativa de la rentabilidad de forma integral, $$X_t=e^{-r(T-t)}\int_K ^ \infty (S_T-K) d\mathbb{\tilde{P}} $$ $$=e^{-r(T-t)}\int_{K-S} ^ \infty (S e^{r(T-t)} +y-K) p(y) dy $$ Tomando la derivada con respecto a S, $$\frac{\partial g}{\partial S}= \int_{K-Se^{r(T-t)}} ^ \infty p(y) dy -e^{-r(T-t)}(K-Se^{r(T-t)}+Se^{r(T-t)}-K)p(y)=\mathbb{\tilde{P}}(S_T>K) $$ Así, la delta de la opción puede ser escrito como una probabilidad, que siempre está entre cero y uno.

Esto prueba 2.

Answer 2

El stock de peso $\pi_t\geq0$ es no negativa como $C_T=\max(S_T-K,0)$ es el aumento en el $S_T$ (siempre tiempo).

$\pi_t\leq 1$ no puede ser mayor que uno, porque uno puede recibir en la mayoría de los 1 el papel de la llamada a la madurez, por lo que no pagar más de 1 stock precio por ello. De lo contrario, uno podría comprar el (los más baratos) llamar y vender replicar el portafolio libre de riesgo beneficio en la madurez.