¿Por qué el valor temporal de una opción es matemáticamente siempre positivo?

Question

Consideremos una simple opción europea en el marco de Black-Scholes.

¿Qué pasa con las matemáticas de $SN(d_1) - KN(d_2)$ que hace que su valor sea siempre mayor que $S-K$ cuando $S>K$ ? (Asumo que el tipo de interés es cero en todo momento).

Por valor temporal entiendo la diferencia entre el valor de la opción y el valor intrínseco, donde el valor intrínseco es $\max(S-K,0)$ .

Answer 1

Consideramos el caso $S\leq K$ solamente. En este caso, el valor intrínseco es cero. Tenga en cuenta que, $$\begin{align*} \frac{\partial C}{\partial S} = N(d_1) >0. \end{align*}$$ Eso es, $C$ es una función estrictamente creciente del nivel del punto $S$ . Además, $$\begin{align*} \lim_{S\rightarrow 0} d_{1, 2} = -\infty. \end{align*}$$ Entonces, $$\begin{align*} \lim_{S\rightarrow 0} C = 0. \end{align*}$$ Por lo tanto, $C>0$ se mantiene.

Answer 2

Creo que tengo una parte. Supongamos un tipo de interés cero y T = 1. Entonces el precio de compra C es

C  =  S.N(d1) – K.N(d2)

donde S es el precio subyacente, K es el strike, y

d1 = ln(S/K)/V+V/2
d2 = d1 – V/2

d1 y d2 representan aproximadamente el dinero en términos de desviación estándar, incluyendo el término V/2 que se suma en d1, y se resta en d2. Nd1 y Nd2 representan el dinero en términos de probabilidad. Obsérvese que cuanto más profundo es el dinero, más se acerca la probabilidad a 1. Ahora, cuando S > K, es fácil demostrar que el valor del tiempo debe ser positivo. Sea X = 1-Nd1, e Y = 1-Nd2. Entonces

C = S(1-x) – K(1-Y) = S-K +Y-X = intrinsic value + Y – X

Como d1 es siempre un poco mayor que d2 debido al término V/2, se deduce que Nd1 está más cerca de 1, y por tanto Y>X.