La prueba para la ATM delta con Local col

Question

Estoy buscando en un tiempo homogéneo local volatilidad modelo donde

• CAJERO automático de la volatilidad implícita es igual ATM local volatilidad: $\sigma_{imp}(S_0)=\sigma_{local}(S_0)$
• ATM IV Skew = la mitad de LV pendiente
• En general $\sigma_{imp}(K) = \sqrt{\frac{\sigma_{local}^2(S_0)+\sigma_{local}^2(K)}{2}} $

LV es una función de punto y está Calibrado para la IV, que es una función de la huelga, estamos trabajando con opción call Europea en este caso).

Reclamo: Delta para un CAJERO automático Opción Call Europea en el LV del modelo está dada por: $$ \Delta_{VI} = \Delta_{BS} + \text{vega}_{BS}*\frac{\partial \sigma_{imp}(K)}{\partial K}\bigg\rvert_{K=S_0} $$ donde $\Delta_{BS}$ e $\text{vega}_{BS}$ es el Black Scholes vega y Delta.

¿Cuál es la prueba de esta afirmación?

Bassically realmente no sé exactamente cómo volatilites buscar en cada uno de los delta plazo y es por eso que no se puede construir una prueba. Así lo explica el modelo y la última ecuación a fondo, probablemente voy a ser capaz de llegar a la prueba a mí mismo.

Answer 1

En un local de la volatilidad del modelo, que no es homogénea en el espacio, usted va a terminar con la necesidad de que la volatilidad implícita de vainilla opción $(K,T)$ es una función del precio spot $S$, es decir, $$ \Sigma = \sigma(T,K,S) $$ Como tales en el momento de calcular el (total) derivado del precio de la opción con respecto al precio spot tendrás: \begin{align} \frac{d V}{d S} &= \left.\frac{\partial V}{\partial S}\right\vert_{\Sigma} + \left.\frac{\partial V}{\partial \Sigma}\right\vert_{S} \frac{\partial \sigma(T,K,S)}{\partial S} \\ &= \Delta_{BS}(S,\Sigma) + \nu_{BS}(S,\Sigma) \frac{\partial \sigma(T,K,S)}{\partial S} (S) \end{align} El último término debe ser la forma en la que la volatilidad implícita se mueve a medida que el punto se mueve pero el local de la volatilidad de la función se mantiene sin cambios.