Consideremos un consumidor cuyas preferencias pueden representarse mediante la siguiente función de utilidad: $$u(x_1,x_2)=\dfrac{x_2}{(1+x_1)^2}.$$
- Supongamos que los ingresos del agente son $y=5$ . El precio de una unidad del bien $1$ es $p_1=1$ . Por cada unidad de bien $1$ el agente compra, tiene derecho a comprar hasta una unidad del bien $2$ a un precio adicional de $p_2=1$ . En otras palabras, para comprar una unidad del bien $2$ el agente tiene que comprar primero una unidad del bien $1$ . El agente debe consumir todo lo que compra. A partir de esta información, esboza el conjunto factible. ¿Es convexo? Deduce el paquete que maximiza la utilidad.
- ¿Cómo cambia su respuesta a la pregunta 4. si el agente no tiene que consumir todo lo que compra ("libre disposición")?
Para Q 4 :
El problema de maximización de la utilidad del consumidor es :
\begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_1)^2} \\ \text{s.t.} & \ \ x_1+x_2 \leq 5 \\ \text{and} & \ \ 0 \leq x_2 \leq x_1 \end{eqnarray*}
He aquí el conjunto de restricciones del consumidor, junto con algunas curvas de indiferencia:
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Obsérvese que el conjunto de restricciones es convexo y que el consumidor no gasta todos sus ingresos en el óptimo. Su paquete de consumo óptimo es $(x_1, x_2) = (1,1)$ .
Para Q 5 :
El problema de maximización de la utilidad (con libre disposición) del consumidor es :
\begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2, b_1, b_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_1)^2} \\ \text{s.t.} & \ \ b_1+b_2 \leq 5 \\ & \ \ 0 \leq b_2 \leq b_1 \\ \text{and} & \ \ 0 \leq x_1 \leq b_1, 0 \leq x_2 \leq b_2\end{eqnarray*}
Aquí $b_1$ , $b_2$ indica el importe de las dos mercancías compradas por el consumidor, y $x_1$ , $x_2$ indica la cantidad consumida. En este caso, el consumidor intentará maximizar su consumo del bien 2 $(x_2)$ comprando la misma cantidad de producto 2 $(b_2)$ como pueda. Claramente, la solución a este problema de maximización de la utilidad es $b_1 = b_2 = x_2 = 2.5, x_1 = 0$ .
Para la P 4, he aquí una manera de resolver el problema de optimización utilizando el método Lagrangiano :
Dado el problema de maximización de la utilidad del consumidor :
\begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_1)^2} \\ \text{s.t.} & \ \ x_1+x_2 \leq 5 \\ \text{and} & \ \ 0 \leq x_2 \leq x_1 \end{eqnarray*}
Establecemos el Lagrangiano como sigue:
$\mathcal{L}(x_1, x_2) = \dfrac{x_2}{(1+x_1)^2} - \lambda(x_1+x_2-5) +\mu_1(x_1-x_2)+ \mu_2x_2 $
Las condiciones necesarias para la optimalidad son las siguientes :
$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \dfrac{-2x_2}{(1+x_1)^3} - \lambda + \mu_1 = 0$
$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = \dfrac{1}{(1+x_1)^2} -\lambda - \mu_1 + \mu_2 = 0$
$x_1+x_2 \leq 5$ , $\lambda \geq 0$ y $\lambda(x_1+x_2-5) = 0$
$x_1 \geq x_2$ , $\mu_1 \geq 0$ y $\mu_1(x_1-x_2) = 0$
$x_2 \geq 0$ , $\mu_2 \geq 0$ y $\mu_2x_2 = 0$
Resolviendo el sistema anterior, obtenemos
$x_1 = 1$ , $x_2 = 1$ , $\mu_1 = \frac{1}{4}$ , $\mu_2=0$ , $\lambda = 0$
Alternativamente para Q 4, el problema también se puede convertir en un problema de optimización de una sola variable. Esto se debe a que el individuo siempre consumirá cantidades iguales de $x_1$ y $x_2$ en equilibrio. Sustituyendo $x_2=x_1$ rendimientos :
\begin{eqnarray*} \max_{x_2} & \ \ \frac{x_2}{(1+x_2)^2} \\ \text{s.t.} & \ \ 0 \leq x_2 \leq 2.5 \end{eqnarray*}
Diferenciación $\dfrac{x_2}{(1+x_2)^2}$ con respecto a $x_2$ da la siguiente condición necesaria
$\dfrac{(1+x_2)^2 - 2(1+x_2)x_2}{(1+x_2)^4} = \dfrac{1-x_2^2}{(1+x_2)^4} = 0$
que da como resultado $x_2 = 1$ y el valor correspondiente de $x_1 = 1$ .
