Cálculo de atribución de varianza a partir de una matriz de covarianza

Question

Digamos que tengo una cartera con dos activos con pesos $(x, y)$, y la matriz de covarianza de los dos activos es $((a, r)(r, b))$. Entonces la varianza total de la cartera sería $x^2a+2xyr+y^2b$. Es fácil ver que el porcentaje de la varianza debido al activo $x$ es $\frac{x^2a+xyr}{x^2a+2xyr+y^2b}$. Me pregunto en casos de n-dimensiones, ¿cómo se calcula matemáticamente el porcentaje de varianza para cada activo basado en la matriz de covarianza?

Answer 1

Supongamos que la matriz de covarianza es $V$ (que es n por n) y los pesos son $w$ (de longitud n).

Entonces la Varianza del Portafolio es $V_p = w^T V w$

y la Contribución al Riesgo (en términos de varianza) del activo $k$ es

$RC_k=w_k \sum_j V[k,j]w_j$

en palabras esto es "el peso del activo k multiplicado por el producto punto de la k-ésima fila de $V$ y el vector de pesos". (A veces el "producto punto de ..." mencionado anteriormente recibe el nombre de la Contribución Marginal al Riesgo del activo $k$, lo que lleva a la expresión compacta $RC_k=w_k MRC_k$).

Luego tenemos la "propiedad de descomposición" que $V_p=\sum_k RC_k$ o en términos porcentuales

$$\sum_k \frac{RC_k}{V_p}=1$$

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Si aplicamos esto al caso dos por dos

$V=\begin{bmatrix} a & r \\ r & b \\ \end{bmatrix}$

y $w=\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$

obtenemos que la varianza total del portafolio es $V_p=a x^2+2 r x y + b y^2$

La contribución de varianza del primer activo es $RC_1=x(ax+ry)$

y la contribución porcentual es la proporción de estos dos valores (el segundo dividido por el primero). Esto concuerda con tu resultado.

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Dos buenas referencias para estos resultados son

Edward Qian: On the Financial Interpretation of Risk Contribution: Risk Budgets Do Add Up (2005)

S. Maillard, T. Roncalli: On the properties of equally-weighted risk contributions portfolios (2009)

también a menudo citado es

D Tasche: Capital Allocation to Business Units and Sub-Portfolios: the Euler Principle (2008)