$$dV_t=-k(V_t-1)dt+ \epsilon\sqrt{V_t}dW_t$$ $W_t$ está en proceso de wiener y el resto es sólo de algunos parámetros.
Para $T_{i+1}>T_{i}$ ¿cómo puedo encontrar la expectativa y la varianza de $V_{T_{i+1}}$ conitional a $V_{T_i}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como por @Quantuple, podemos considerar la posibilidad de una más general de la Cox-Ingersoll-Ross modelo $$ {\rm d}r_t=a\left(b-r_t\right){\rm d}t+\sigma\sqrt{r_t}{\rm d}w_t. $$ Integrando esta ecuación en $t\in\left(u,v\right)\subseteq\mathbb{R}^+$ rendimientos \begin{align} r_v-r_u=\int_u^v{\rm d}r_t&=\int_u^v\left[a\left(b-r_t\right){\rm d}t+\sigma\sqrt{r_t}{\rm d}w_t\right]\\ &=ab\left(v-u\right)-a\int_u^vr_t{\rm d}t+\sigma\int_u^v\sqrt{r_t}{\rm d}w_t. \end{align} Actuando $\mathbb{E}\left(\cdot|r_u\right)$ a ambos lados de esta igualdad da \begin{align} \mathbb{E}\left(r_v|r_u\right)-r_u&=\mathbb{E}\left(r_v-r_u|r_u\right)=\mathbb{E}\left[ab\left(v-u\right)-a\int_u^vr_t{\rm d}t+\sigma\int_u^v\sqrt{r_t}{\rm d}w_t\Bigg|r_u\right]\\ &=ab\left(v-u\right)-a\mathbb{E}\left(\int_u^vr_t{\rm d}t\Bigg|r_u\right)+\sigma\mathbb{E}\left(\int_u^v\sqrt{r_t}{\rm d}w_t\Bigg|r_u\right)\\ &=ab\left(v-u\right)-a\mathbb{E}\left(\int_u^vr_t{\rm d}t\Bigg|r_u\right)\\ &=ab\left(v-u\right)-a\int_u^v\mathbb{E}\left(r_t|r_u\right){\rm d}t. \end{align} Denotar $f(t)=\mathbb{E}\left(r_t|r_u\right)$ para $t\ge u$, y la última ecuación es equivalente a, para todos los $v\ge u$, $$ f(v)=r_u+ab\left(v-u\right)-a\int_u^vf(t){\rm d}t. $$ Considerar esto como una ecuación integral con respecto a $v$, y su respectiva ecuación diferencial con la condición inicial lee \begin{align} f'(v)&=ab-af(v),\\ f(u)&=r_u. \end{align} Este sistema lleva inmediatamente a
$$ \mathbb{E}\left(r_v|r_u\right)=f(v)=r_ue^{-a\left(v-u\right)}+b\left(1-e^{-a\left(v-u\right)}\right). $$
Basado en el resultado anterior, podemos averiguar $\mathbb{E}\left(r_v^2|r_u\right)$ como sigue. Gracias a Ito de la fórmula, la de la Cox-Ingersoll-Ross modelo da \begin{align} {\rm d}\left(r_t^2\right)=2r_t{\rm d}r_t+{\rm d}\left<r\right>_t&=2ar_t\left(b-r_t\right){\rm d}t+\sigma r_t\sqrt{r_t}{\rm d}w_t+\sigma^2r_t{\rm d}t\\ &=\left[\left(2ab+\sigma^2\right)r_t-2ar_t^2\right]{\rm d}t+\sigma r_t\sqrt{r_t}{\rm d}w_t. \end{align} De nuevo, la Integración de esta ecuación en $t\in\left(u,v\right)\subseteq\mathbb{R}^+$ rendimientos $$ r_v^2-r_u^2=\left(2ab+\sigma^2\right)\int_u^vr_t{\rm d}t-2a\int_u^vr_t^2{\rm d}t+\sigma\int_u^vr_t\sqrt{r_t}{\rm d}w_t. $$ Actuando $\mathbb{E}\left(\cdot|r_u\right)$ en esta igualdad de rendimientos $$ g(v)-r_u^2=\left(2ab+\sigma^2\right)\int_u^vf(t){\rm d}t-2a\int_u^vg(t){\rm d}t, $$ donde $f$ está de acuerdo con la notación de arriba, mientras que $g(v)=\mathbb{E}\left(r_t^2|r_u\right)$. Tenga en cuenta que su respectiva ecuación diferencial lee \begin{align} g'(v)&=\left(2ab+\sigma^2\right)f(v)-2ag(v),\\ g(u)&=r_u^2. \end{align} Gracias a este sistema, eventualmente podremos averiguar
\begin{align} \text{Var}\left(r_v^2|r_u\right)&=\mathbb{E}\left(r_v^2|r_u\right)-\mathbb{E}^2\left(r_v|r_u\right)=g(v)-f^2(v)\\ &=\frac{\sigma^2}{a}\left[r_ue^{-a\left(v-u\right)}\left(1-e^{-a\left(v-u\right)}\right)+\frac{b}{2}\left(1-e^{-a\left(v-u\right)}\right)^2\right]. \end{align}
La respuesta a tu pregunta original podría ser obtenida por la toma de $a=k$, $b=1$, $\sigma=\epsilon$, $u=T_i$ y $v=T_{I+1}$.
