Tengo una pregunta sobre una derivación adecuada de la curva de oferta de la industria de Cobb-Douglas.
La función de producción viene dada por
\begin {Ecuación} q_i = 2x_1^{1/2}x_2^{1/2} \end {Ecuación}
el precio de $x_1$ La entrada es $w_1=1$ y $x_2$ es $w_2=4$
Estos son los pasos que he utilizado para intentar derivar la curva de oferta:
Utilicé el conocido hecho de que la tasa técnica de sustitución debe ser igual a los precios de los factores, así que:
\begin {Ecuación} \frac { \text {MP}_{x_1}}{ \text {MP}_{x_2}} = \frac {w_1}{w_2} \end {Ecuación}
Así que después de sustituir los precios y los productos marginales que obtenemos al tomar las derivadas parciales de $q_i$ nos encontramos con que:
\begin {Ecuación} \frac {x_1}{x_2} = \frac {1}{4} \text { o } x_1 = 4x_2 \end {Ecuación}
Ahora he sustituido esto en el cobb-douglas para obtener:
\begin {Ecuación} q_i = 4x_2 \text { o } \frac {q_i}{4} = x_2 \end {Ecuación}
Ahora sólo he utilizado la ecuación general de beneficios:
\begin {Ecuación} \pi_i = pq_i - w_1x_1 -w_2 x_2 \end {Ecuación}
He sustituido la solución de ambos $x_1 = 4x_2$ y también que $x_2 = q_i/4$ y tengo:
\begin {Ecuación} \pi_i = pq_i - 2q_i \end {Ecuación}
Así que mi pensamiento fue que al resolver para el óptimo $q_i*$ y multiplicándolo por $n$ - el número de empresas podría obtener la curva de oferta. Pero como la función de beneficios es lineal la $q_i$ se desprende de la derivación.
Por favor, ¿alguien podría aconsejarme sobre cómo proceder?
Edición: También se me olvidó mencionar que se supone que la industria es perfectamente competitiva.
