La Distribución de los Futuros Precio de las Acciones

Question

En el Casco, se nos presenta que

$$\frac{\Delta S}{S_{0}}=\mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\cdot \varepsilon.$$

Después de algunos álgebra,

$$ \begin{align*} \frac{\Delta S}{S_{0}} &=\mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \\ \frac{S-S_{0}}{S_{0}} &= \mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \\S &= \left(S_{0} + \mu S_{0} \Delta t\right) + \sigma S_{0} \sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \end{align*} $$

Por lo tanto, la distribución de los futuros precio de la acción está dado por

$$S \sim \phi\left(S_{0} + \mu S_{0} \Delta t,\left(\sigma S_{0} \sqrt{\Delta t}\right)^{2}\right).$$

Es decir, el futuro precio de la acción sigue una distribución normal.

Luego se nos presentó a Itô del Lexema. Dejando $G = \ln(S_{0})$, obtenemos que

$$dG = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^{2}\right)dt+\sigma dz.$$

Desde $G = \ln{S_{0}}$, en un discreto sentido, se puede decir que

$$dG = \ln{S_{T}} - \ln{S_{0}}.$$

Por lo tanto,

$$\ln{S_{T}} - \ln{S_{0}} = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^{2}\right)dt+\sigma dz \\ \implica \ln{S_{T}} = \ln{S_{0}} + \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^{2}\right)dt+\sigma dz. $$

A continuación, se deduce que desde $\ln{S_{T}}$ sigue una distribución normal, el futuro precio de la acción debe seguir una distribución logarítmico-normal

Ahora estoy confundido, que proceso debo utilizar para responder a las preguntas acerca de la naturaleza probabilística de los futuros precios de las acciones?

Tengo una pregunta. ¿Por qué

$$\mathcal{P}(\ln{S_{T}} > \ln{X}) = \mathcal{P}(S_{T} > X)?$$

El contexto de mi última pregunta se puede encontrar aquí.

Answer 1

Usted pregunta 2 preguntas y trato de responder:

1) ¿por Qué usamos el movimiento Browniano geométrico ($\ln S_t-\ln S_0$ se distribuye normalmente)? En este caso usted tiene $$ S_t = S_0 \exp( (\mu\sigma^2/2) t + \sigma B_t), $$ lo que significa que el modelo positivo de los precios. Además, el registro de devolución $$ \ln(S_t/S_0) = (\mu\sigma^2/2) t + \sigma B_t, $$ se distribuye normalmente. Como registro de las devoluciones pueden cubrir la totalidad real de la línea de $(-\infty,\infty)$ este es un buen modelo. Tenga en mente que el simple devuelve $S_t/S_0-1$ sólo puede tomar los valores de $[-1,\infty)$. El mejor lugar para un modelo de una distribución normal es toda la recta real.

Si se utiliza un modelo (el Bachelier modelo) $$ S_t = S_0 + \mu t + \sigma B_t, $$ luego de su devuelve $S_t-S_0$ están distribuidos normalmente. Pero existe la posibilidad de que los precios de los negativos (si $B_t$ se vuelve muy negativa). Usted probablemente no quiere que este en su modelo. Algunas personas utilizan este modelo, sin embargo, el precio de opciones que están cerca de la madurez, ya no necesitas de un gran $\sigma$ a un partido (relativamente alta) de los precios de las opciones OTM.

Para 2) ¿Por qué es $P(\ln S>\ln X)=P(S > X)$? debido a que el logaritmo es una transformación monótona. Hablamos de los mismos eventos. Si $S>X$ siempre $\ln S > \ln X$. Por lo tanto los mismos eventos tienen la misma probabilidad. Otro ejemplo $$ P ( S > X ) = P ( S+4 > X + 4). $$ Sólo los mismos eventos.