Para preparar mi examen de Opciones, Futuros y Gestión de Riesgos de la semana que viene, me han presentado una serie de preguntas y sus respuestas. Por desgracia, mi profesor, uno de los menos organizados, no responde a los correos electrónicos ni a los intentos de consulta. He recurrido a estos foros para aliviar un poco el estrés.
Mi pregunta se presenta de la siguiente manera:
El precio de las acciones de la empresa XYC Inc. presenta una deriva instantánea del 7% anual con una volatilidad de la rentabilidad del 45%. ¿Cuál es la probabilidad de que las acciones de XYZ superen \$95 after 10 months when they cost $ 55 hoy
Por supuesto, mostraré mi intento de solución.
En primer lugar, asumo que la variación del precio de las acciones sigue un movimiento geométrico browniano (GBM). Es decir,
$$\frac{\Delta S}{S_{0}}=\mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\cdot \varepsilon.$$
Siguiendo un poco de álgebra,
$$ \begin{align*} \frac{\Delta S}{S_{0}} &=\mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \\ \frac{S-S_{0}}{S_{0}} &= \mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \\S &= \left(S_{0} + \mu S_{0} \Delta t\right) + \sigma S_{0} \sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \end{align*} $$
Por lo tanto, la distribución del precio futuro de las acciones viene dada por
$$S \sim \phi\left(S_{0} + \mu S_{0} \Delta t,\left(\sigma S_{0} \sqrt{\Delta t}\right)^{2}\right).$$
Sustituyendo las cifras adecuadas,
$$S \sim \left(58.21, \left(22.59\right)^2\right).$$
Para los problemas probabilísticos relativos a las distribuciones normales, me refiero a las puntuaciones estandarizadas. Calculo que
$$z_{95} = 1.63.$$
Utilizando Microsoft Excel, la probabilidad de que la puntuación z sea superior a 1,63 y, por tanto, el precio de la acción sea superior a 95 viene dada por
$$1- \mathrm{NORMDIST(95,58.21,22.59,TRUE)}.$$
La respuesta que obtengo es el 5,17%. La respuesta dice que es el 8,23%.
Estaría más que agradecido por cualquier ayuda y consejo sobre cómo resolver adecuadamente este problema.
Gracias por adelantado,
Gustavo.
