Quanto precios explicación

Question

He rutas generadas a partir de Heston, la correlación Eq/FX, FX ATM vol pero yo estoy luchando para encontrar la metodología correcta.

Traté de ajustar el dividendo en rutas de activos de mi Heston Monte Carlo por q'=q + rho.sigmaFx.sigmaEquity pero el precio de mi opción apenas se mueve - que las costuras de la feria, porque 1e-2 < ajuste < 1e-3 y por lo tanto q es dominante (en mi prueba, quanto en EUR, el stock de NOSOTROS), así que supongo que esto no es cómo deben hacerse las cosas. Debo cambiar mi tasa de descuento ? Por el momento sólo estoy buscando el Punto de ajuste, voy a ver más tarde para el vol. Cualquier ayuda se agradece.

Edit: otra pregunta

¿Tengo que correlacionan la dinámica de la Equidad y FX (utilizando Black estudiosos modelo para la FX) o simplemente aplicar el ajuste por encima de la de los activos de dividendos y por lo tanto el uso de Monte Carlo sólo para el activo ? Espero que esto está claro.

Answer 1

Suponiendo que el FX spot de la tasa de cambio sigue una GBM, bajo el riesgo interno de neutro medida $\Bbb{Q}_{\text{DOM}}$ la Heston dinámica de la equidad subyacente denominados en moneda extranjera $\text{FOR}$ debe leer: $$\begin{align} \frac{dS_t}{S_t} = \color{blue}{\tilde{\mu}_t} dt + \sqrt{v_t} dW_S(t),\,\,\, S(0) = S_0 \\ dv_t = \kappa(\color{blue}{\tilde{\theta}}-v_t)dt + \xi \sqrt{v_t} dW_v(t),\,\,\ v(0) = v_0 \\ \frac{dX_t}{X_t} = (r_t^d - r_t^f) dt + \sigma_X dW_X(t),\,\,\ X(0) = X_0 \end{align}$$

$$d\langle W_S, W_v\rangle_t = \rho_{S,v} dt,\,\,\, d\langle W_S, W_X \rangle_t = \rho_{S,X} dt,\,\,\, d\langle W_v, W_X \rangle_t = \rho_{v,X} dt$$

En la de arriba, $X_t$ representa el $\text{FOR/DOM}$ tipo de cambio (es decir, 1 unidad de la moneda extranjera es igual a X unidades de moneda nacional en el momento $t$) y, en su caso particular $\text{FOR}$=USD, $\text{DOM}$=EUR.

Como tal, $\rho_{S,X}$ representa la correlación entre la equidad subyacente $S$ e $X$ la $\text{FOR/DOM}$ tipo de cambio, que es la opuesta a la de la $\text{DOM/FOR}$ de la tarifa, así que asegúrese de que usted tiene este derecho.

El quanto a la deriva de los ajustes en el otro lado de leer $$\color{blue}{\tilde{\mu}_t} = \mu_t - \rho_{S,X} \sigma_{X} \sqrt{v_t}$$ $$\color{blue}{\tilde{\theta}} = \theta - \frac{\rho_{v,X} \sigma_X \xi \sqrt{v_t} }{\kappa }$$

Así que de vuelta a tu pregunta original y escribir $\mu_t = r^f_t - q_t$ usted podría, de hecho, mantener la misma cantidad de dinero a tasas de mercado y ajustar la "rentabilidad por dividendo" por escrito $\tilde{\mu}_t = r^f_t - \tilde{q}_t$ con $$\tilde{q}_t = q_t + \rho_{S,X} \sigma_X \sqrt{v_t}$$ pero tenga en cuenta cómo este ajuste es estocástico.

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[Información adicional]

La aplicación de Itô del lema a la SDE describir la evolución de la equidad precio spot bajo el quanto medida de que uno se $$d\ln(S_t) = \left( \tilde{\mu}_t - \frac{1}{2}v_t \right) dt + \sqrt{v_t} dW_S(t)$$ La integración de más de $[0,t]$, entonces los rendimientos $$\begin{align} S_t &= S_0 \exp\left( \int_0^t \tilde{\mu}_u du \right) \underbrace{ \exp \left( \int_0^t \sqrt{v_u} dW_S(u) - \frac{1}{2} \int_0^t v_u du \right)}_{ := \mathcal{E}\left( \int_0^t \sqrt{v_u} dW_S(u) \right) } \\ &= \underbrace{S_0 \exp\left( \int_0^t \mu_u du\right)}_{ := F^f(0,t)} \exp\left(-\int_0^t \rho_{S,x} \sigma_X \sqrt{v_u} du\right) \mathcal{E}\left( \int_0^t \sqrt{v_u} dW_S(u) \right) \end{align}$$ donde $\mathcal{E}(X_t)$ indica que el estocástico exponencial de un proceso estocástico (Doléans-Dade exponencial), es decir, $$\mathcal{E}(X_t) = \exp\left( X_t - \frac{1}{2}\langle X \rangle_t \right)$$

Ahora teniendo la esperanza condicional bajo el quanto medida de que uno se de que $$F^d(0,t) = F^f(0,t) \Bbb{E}_0^d \left[ \underbrace{\exp\left( -\int_0^t \rho_{S,x} \sigma_X \sqrt{v_u} du \right)}_{A_t} \underbrace{\mathcal{E}\left( \int_0^t \sqrt{v_u} dW_S(u) \right)}_{B_t} \right]$$ donde $F^d(0,t)$ representa el quanto adelante y $F^f(0,t)$ el precio a plazo de la equidad.

Por las propiedades de la Doléans-Dade exponencial, sabemos que $\Bbb{E}_0[B_t] = 1$. La pregunta ahora es si $A_t$ e $B_t$ son independientes, de modo que podemos escribir

$$\Bbb{E}_0[A_t B_t] = \Bbb{E}_0[A_t] \Bbb{E}_0[B_t] = \Bbb{E}_0[A_t]$$

Por ejemplo este es el caso de la si $v(u) = \sigma^2_S(u)$ es determinista, esto degenera a la habitual de Black-Scholes adelante quanto precio $$F^d(0,t) = F^f(0,t) \exp\left( -\int_0^t \rho_{S,x} \sigma_X \sigma_S(u) du \right)$$