Precios y Arbitraje de los Inversos de los Activos de Demanda

Question

Estoy trabajando a través de los siguientes poco exóticos, hacer ejercicio y tener algunas de las preguntas y la curiosidad de si estoy en el camino correcto

Considerar las reclamaciones $$Y_t=\frac{1}{S_t}$$ $$X=\frac{1}{S_T}$$ a) Puede $Y_t$ ser el arbitraje libre de precio de los instrumentos derivados negociados?

Respuesta?-- Así que esta pregunta es, por alguna razón, haciendo campaña en mí. Supongo que esto significa que el literal proceso de $Y_t$ (es decir, no en virtud de un riesgo-neutral expectativa), lo que parece muy poco probable que sea un arb precio libre proceso. Me parece que no puede poner en cualquier riguroso de los términos.

b) Derive una expresión para el arbitraje de precio libre proceso de $\pi_t[X]$

Bajo riesgo-neutro de valoración, hemos $$\pi_t[X]=E^Q[\frac{X}{B_T}]=E^Q[\frac{\frac{1}{S_T}}{B_T}]=E^Q[\frac{1}{S_TB_T}]$$ Así que, aquí es donde he tenido la idea de multiplicar ambos lados por $S_t$. Ahora, he hecho un montón de problemas con el cambio de numeraire, pero esto realmente no es eso, así que ahora voy a continuar bajo el supuesto de que todavía estamos bajo P: $$\pi_t[X]=\frac{1}{S_t}E^Q[\frac{S_t}{S_TB_T}]<=>$$ $$\pi_t[X]=\frac{1}{S_t}E^Q[e^{-r(T-t)+(\frac{1}{2}\sigma^2-r)(T-t)-\sigma(W_T-W_t)}]<=>$$ $$\pi_t[X]=\frac{1}{S_t}E^Q[e^{(\frac{1}{2}\sigma^2-2r)(T-t)-\sigma(W_T-W_t)}]$$ Utilizando el hecho de que $E[e^{\mu+\sigma Z}]=e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}$, tenemos $$\pi_t[X]=\frac{1}{S_t}e^{(\sigma^2-2r)(T-t)}$$

Answer 1

Respecto de la pregunta $\text{b}$, su resultado es correcto, pero no es necesario complicar las cosas dividiendo y multiplicando por $S_t$: su expectativa $E^Q[\cdot] = E^Q[\cdot|\mathcal{F}_t]$ es realmente condicional a la información en $t$, por lo tanto usted puede simplemente tomar el $1/S_t$ factor de $1/S_T$ fuera de la esperanza condicional, sin tener que multiplicar y dividir por $S_t$.

Como para la pregunta $\text{a}$, una vez que ha contestado la pregunta $\text{b}$ debería ser relativamente directo (sugerencia: la respuesta no es un claro "sí" o "no").