Europea vs América valores derivados, interesante pregunta

Question

Nos deja denotar por $c^A(t, S(t))$ el precio en el momento en $t$ de un cierto estilo Americano derivados de la seguridad, cuyo instrinsic valor, al tiempo $t$ es denotado por $V(t)$.Desde el no-arbitraje principio, sabemos que, en cada momento $t\in [0,T]$, debemos tener $c^A(t, S(t))\geq V(t)$.

Ahora vamos a denotar por $c^E(t, S(t))$ el precio de la contraparte Europea de la misma derivada, tener rentabilidad $V(T)$ ejercerse solamente en tiempo de $T$. En este caso sabemos que la relación se $c^E(t, S(t))\geq V(t)$, para $t\in [0,T]$ en general no aguanta más: por ejemplo, si el Europeo derivado de la seguridad es una opción de venta.

Ahora, mi pregunta es: supongamos que, para una determinada Europea de seguridad, en realidad tenemos la relación $c^E(t, S(t))\geq V(t)$, para todos los $t\in [0,T]$. Podemos decir que en este caso la Americana derivada de seguridad es equivalente a su homólogo Europeo? Es decir, podemos concluir que el $c^E(t, S(t))=c^A(t, S(t))$, para todos los $t\in [0,T]$?

Este es ciertamente el caso de las opciones de llamada, donde tenemos que $c^E(t, S(t))\geq V(t)$, $t\in [0,T]$. Pero, ¿qué acerca de otros tipos de derivados?

Answer 1

Considerar dos opciones con vencimiento $T$ que sólo difieren en su ejercicio estilos, uno Europeo (titular sólo podrá ejercer en $T $), el resto de América (titular de ejercicios cuando es mejor para él/ella). Estas opciones no deben ser necesariamente opciones de vainilla.

¡Hagamos más denotar por $I (S_t) $ el valor intrínseco de estas contigent reclamaciones en tiempo $t $, es decir, el valor que el titular obtenga por el ejercicio de a $t$.

Su pregunta, a continuación, se traduce en

Suponiendo que $\forall t \in [0,T]$, la siguiente desigualdad se cumple $$ V^E(t,S_t) \geq I(S_t) \tag{A} $$ ¿que implica la siguiente igualdad $$ V^A(t,S_t) = V^E(t,S_t) \tag{B} $$

Prueba de $(B) \Rightarrow (A)$

La prueba es sencilla. En efecto, como usted ha indicado en su pregunta al $t$-valor de una opción Americana es siempre mayor que el valor intrínseco en el momento $t$: $V^A(t,S_t) \geq I(S_t)$ mientras que por $(B)$ $V^A(t,S_t)=V^E(t,S_t)$. El ex desigualdad proviene del hecho de que de inmediato el ejercicio es simplemente una de las muchas detener las estrategias que el titular de una opción Americana puede resolver a y él/ella se espera que escoja la que maximiza su ganancia.

Prueba de $(A) \Rightarrow (B)$

A partir de la definición de la opción Americana \begin{align} V^A(t,S_t) &= \text{sup}_{\tau \in [t,T]} \mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} I(S_\tau) \right] \tag{1} \end{align} donde $\tau$ representa una familia de tiempos de parada con valores en $[t,T]$.

Suponga que $(A)$ mantiene decir $I(S_t) \leq V^E(t,S_t), \forall t \in [0,T]$. En ese caso, a partir de la ecuación de $(1)$, podemos escribir que \begin{align} V^A(t,S_t) &\leq \text{sup}_{\tau \in [t,T]} \mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} V^E(\tau,S_\tau) \right] \tag{2} \\ \end{align} por la linealidad de la expectativa de operador.

Ahora, tomando nota de que, en ausencia de arbitraje de $\frac{V^E(t,S_t)}{B_t}$ debe surgir como una $\mathbb{Q}$-martingala (recuerde que $V^E(t,S_t)$ es un negociables activo), con $B_t$ la $t$-valor de la libre de riesgo del mercado de dinero de la cuenta, el óptimo teorema de muestreo, se obtiene: \begin{align} \mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(\tau-t)} V^E(\tau,S_\tau) \right] &= e^{rt} \mathbb{E}_t^\mathbb{Q} \left[ \frac{V^E(\tau,S_\tau)}{B_\tau} \right] \\ &= e^{rt}\frac{V^E(t,S_t)}{B_t} \\ &= V^E(t,S_t) \end{align} por lo tanto $(2)$ se convierte en \begin{align} V^A(t,S_t) &\leq \text{sup}_{\tau \in [t,T]} V^E(t,S_t) = V^E(t,S_t) \tag{I1} \\ \end{align}

Por otro lado tenemos que $$ V^A(t,S_t) \geq V^E(t,S_t) \tag{I2} $$ es decir, el $t$-valor de una opción Americana es siempre mayor que el $t$-del valor de su homólogo Europeo. Esto es porque Europeo de ejercicio al vencimiento es meramente uno de los muchos detener las estrategias que el titular de una opción Americana puede resolver a y él/ella se espera que escoja la que maximiza su ganancia.

La combinación de las desigualdades $(I1)$ e $(I2)$ entonces trivialmente rendimientos: $$ V^A(t,S_t) = V^E(t,S_t) $$