Supongamos que tenemos : $\frac{dS_{t}}{S_{t}}= \sigma dW_{t}$ con $\sigma_{t}$ un proceso de volatilidad estocástica. Cómo calcular $\mathbb{E}^{Q}[(S_{T}-K)+]$ ? ¿Existe una fórmula parecida a la de BS : " $S_{0}N(d+)-Ke^{-rT}N(d-)$ " ? ¡Tx!
[ Respuesta corta ]
No hay una fórmula cerrada en general. Hay que recurrir a métodos numéricos. La mayoría de los profesionales prefieren el método de Montecarlo, pero también se pueden utilizar esquemas de diferencias finitas (y a veces incluso técnicas de inversión de Fourier, en función del modelo utilizado y de los instrumentos a los que se asigne un precio).
[ Respuesta larga ]
Se suele distinguir entre 2 clases de modelos (de difusión pura) caracterizados por la SDE (*)
$$ d S_t = \sigma_t S_t dW_t $$
volatilidad local son tales que $\sigma_t := \sigma(t,S_t)$ Véase el trabajo seminal de Dupire en este ámbito. Excepto en el caso degenerado $\sigma_t = \sigma(t)$ En este caso, no existen fórmulas cerradas y hay que recurrir a métodos numéricos como los esquemas de diferencias finitas para resolver la EDP de precios (que puede demostrarse que es una generalización directa de la EDP de Black-Scholes) o a Monte Carlo para simular las trayectorias del proceso $(S_t)_{t\geq 0}$ discretizando la SDE mencionada anteriormente (existen numerosos esquemas de discretización posibles).
volatilidad estocástica modelos en los que $\sigma_t$ (o a veces la varianza instantánea $v_t = \sigma_t^2$ ) posee su propia fuente de estocasticidad - es decir, su propio movimiento browniano impulsor, correlacionado o no con el que impulsa el precio al contado - por lo que nos encontramos con un sistema de SDEs, uno para el precio de las acciones, otro para la volatilidad/varianza, véase el trabajo seminal de Heston, Schobel-Zhu, Stein & Stein y muchos otros en esa área. Aunque los métodos de diferencias finitas y de Montecarlo pueden utilizarse también para los modelos de volatilidad estocástica, estos modelos se hicieron populares en primer lugar porque permitían derivar soluciones de forma semicerrada expresadas como transformadas de Fourier para instrumentos sencillos (típicamente opciones europeas vainilla y salidas a plazo). Estas inversiones de Fourier pueden realizarse con una rapidez pasmosa: mucho más rápida que cualquier esquema de Monte Carlo o de diferencias finitas. Sin embargo, nunca serán tan rápidas como una simple evaluación de la fórmula de fijación de precios de la BS.
(*) Existen otros tipos de modelos de difusión que no son descritos por la SDE mencionada anteriormente, especialmente la clase de modelos de Lévy con cambio de tiempo mencionados en la respuesta de @Kiwiakos.
Brillante, estaba muy claro. ¡Ok creo que voy a mirar más de cerca el pde asociado Gracias !
Me alegro de que haya servido de ayuda, quizá debería haber mencionado que los modelos de volatilidad local permiten ajustar perfectamente todos los precios de las opciones vainilla observados (mientras que los modelos de volatilidad estocástica tendrán dificultades para ajustarlos). Pero esto tiene un coste: el comportamiento de las sonrisas de la volatilidad implícita futura no es realista bajo el supuesto de la volatilidad local. También hay que tener en cuenta que una característica desagradable de los modelos de volatilidad estocástica es que no son completos (por lo tanto, la EDP tendrá un término adicional que explica el precio de mercado del riesgo de volatilidad/varianza), lo que no ocurre en los modelos de volatilidad local.
¿Qué quiere decir con "una característica desagradable de los modelos de volatilidad estocástica es que no son completos"?
La respuesta es sí. De hecho, siempre existe una fórmula "tipo Black Scholes". También es fácil de demostrar. Si la distribución neutral al riesgo del precio tiene una densidad acumulada $P$ y la densidad de probabilidad $p$ entonces
$$ E(S-K)^+=E((S-K)\ 1_{S>K})=E(S\ 1_{S>K})-K\ E(1_{S>K}) $$
La segunda expectativa es simplemente $P(K)$ , es decir, la probabilidad de que la opción termine en el dinero.
La primera expectativa es un poco más complicada, pero se puede escribir como $\int_K^\infty s p(s) ds$ . El truco consiste en multiplicar y dividir con $S_0$ y reconocer que como bajo la medida de riesgo neutral el precio es una martingala, entonces $S_0=\int_0^\infty s p(s) ds $ .
Entonces la primera expresión se escribe como $$ E(S\ 1_{S>K})=S_0 \frac{\int_K^\infty s p(s) ds}{\int_0^\infty s p(s) ds} = S_0 P^*(K) $$ Se puede confirmar que la fracción (en función de la huelga, es decir $P^*$ arriba) es efectivamente una densidad acumulativa. Es positiva, creciente y se integra en uno. En realidad es la Delta de la opción.
Y hemos escrito el precio de una manera "similar a la de Black-Scholes" como $$ C = S_0 P^*(K) - K\ P(K) $$ Spot por Delta menos Strike por Probabilidad de Ejercicio.
Esta es la expresión que da Heston en su trabajo, que fue el primero con una forma semicerrada para stoch vol. Luego se generalizó en Bakshi y Madan. También esta expresión se utiliza ampliamente para los modelos de Levy, que son movimientos brownianos subordinados (es decir, volatilidad aleatoria). VG, NIG, etc.
En la práctica, por supuesto, la distribución podría no estar disponible y podríamos necesitar calcular las cantidades numéricamente. O tomar otros atajos que no aprovechen esta representación (por ejemplo, Carr Madan).
Aunque estoy completamente de acuerdo, voy a hacer de abogado del diablo diciendo que esto puede dar una idea equivocada al OP. Las ecuaciones que has escrito son, efectivamente, independientes del modelo. Sin embargo, para que sean de alguna utilidad práctica, requieren un buen dominio de las técnicas de cuadratura + un análisis complejo nada parecido a la fórmula BS.
Naturalmente. Pero, excepto en el caso de VG (que, al ser un proceso de salto puro, puede no ser lo que el OP estaba buscando dada la SDE que proporcionó), los modelos de Lévy con reloj estocástico no producen fórmulas de forma cerrada que serían tan fáciles de usar como la fórmula de precios de BS (la integración numérica está al acecho).
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Ten en cuenta que he editado el título de tu pregunta porque: "Black-Scholes con volatilidad estocástica" tiene poco sentido. En cuanto la volatilidad no es constante, no podemos hablar de "Black-Scholes".