Soy nuevo en fijación de precios de derivados y estoy tratando de entender por qué hay dos expresiones diferentes para el Black-Scholes de cobertura de la cartera. El primer enfoque, utilizado en libros como Casco, establece que la cobertura de la cartera consiste en ser corto una opción y largo $\frac{\partial V}{\partial S}$ acciones en cualquier tiempo $t$, que es: $$\Pi_t=-V(t,S_t)+\frac{\partial V}{\partial S}S_t.$$ En otras referencias como Shreve, la cartera de coberturas se presenta a través de la siguiente tautología: $$\Pi_t=\frac{\partial V}{\partial S}S_t+\left(\Pi_t-\frac{\partial V}{\partial S}S_t\derecho).$$ Esta podría ser una pregunta estúpida, pero son estas dos expresiones son sólo diferentes maneras de expresar la misma cosa? Es la posición de efectivo en la segunda ecuación equivalente a reinvertir el precio de la opción si estamos vendiendo en el primer lugar (es decir, $- V(t,S_t)$)?Cualquier comentario o explicación sería muy apreciada.
Respuesta
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La primera cartera de $\Pi^{(1)}_t$ es un auto-financiación de la cobertura de la cartera. Normalmente es lo que usted consigue cuando usted delta hedge una posición de la opción (aquí se corta por lo tanto el signo de menos, pero podría estar mucho tiempo sin pérdida de generalidad) con las acciones del activo subyacente. Si la única fuente de riesgo proviene de la aleatoriedad del activo subyacente precio de $S_t$, entonces uno puede decir que $\Pi^{(1)}_t$ evoluciona a la tasa libre de riesgo, es decir, $d\Pi^{(1)}_t = r\Pi^{(1)}_t dt$, ya que la aplicación de la auto-financiación de la propiedad, junto con Itô muestra que $d\Pi^{(1)}_t$ es un determinista cantidad (la aleatoriedad reflejada por el $dS_t$ plazo desaparece) y por lo tanto debe evolucionar a la tasa libre de riesgo bajo sin arbitraje supuestos.
La segunda cartera de $\Pi^{(2)}_t$ es un auto-financiación de replicar la cartera. Se compone de acciones del subyacente y el dinero colocados y/o retirada de un libre de riesgo del mercado de dinero de la cuenta (o, equivalentemente, una posición en bonos de cupón cero). Generalmente, $\Pi^{(2)}_t$ se utiliza para replicar de forma dinámica una posición de la opción $V_t$, en el sentido de que, por cualquier infinitesimal período de tiempo que queremos para asegurarse de que $d(\Pi^{(2)}_t - V_t) = 0$.
Las ecuaciones $d\Pi^{(1)}_t = r\Pi^{(1)}_t dt$ y $d\Pi^{(2)}_t - dV_t = 0$ son dos diferentes, pero equivalentes maneras de obtener los precios de la PDE en ningún arbitraje supuestos (por lo menos en un factor de mercado).
