Problema del marco HJM - mostrar que la condición de deriva HJM implica que $b(z)=b+βz$ y $(ρ)^2=α$

Question

Hola Estoy buscando algunas aclaraciones generales al marco de Heath-Jarrow-Morton. Estoy analizando un problema en el que el tipo de interés a plazo se modela como $$ f(t,T)=e^{\beta(T-t)} Z_t+h(T-t) \tag{1}$$ para alguna constante $\beta$ y alguna función suave $h:R \rightarrow \ R \ with \quad h(0)=0$ y alguna difusión escalar $$dZt=b(Z_t)dt+\rho dW_t^* \tag{2}$$ con deriva continua y funciones $b(z)$ y $\rho(z)$ .

Para demostrar que la condición de deriva de HJM implica que $\ \mathbf{b(z)=b+\beta z} \ $ y $\ \mathbf{(\rho)^2=\alpha} \ $ para alguna constante b y $\alpha$

Q1
¿Puede alguien explicar en términos sencillos lo que significa esta afirmación? ¿Qué hay que demostrar/probar? Estoy confundido aquí cuál es la relación entre las variables dadas en las ecuaciones (1) y (2) con aquellas $\alpha$ y b.

Ahí están los análisis que he hecho sobre este problema. Entiendo la mayoría de las transformaciones, pero algunos puntos no están claros.

Tomando la derivada de $f(t,T)$ para conseguir $df(t,T)$ y sustituyendo por $dz_t$ Me sale $$df(t,T)=\big{(} -h'(T-t)+e^{\beta(T-t)}(b(z_t)-\beta z) \big{)} \ dt+e^{\beta(T-t)} \rho(z_t) dW_t^* \tag{3} $$ la dinámica Q de las tasas de avance en el marco de HJM son de la forma $$f(t,T)=f(0,T) + \int_0^t \big{(} \sigma(s,T) \int_s^T \sigma(s,u) \ du \big{)} \ ds + \int_0^t \sigma(s,T) dW_t^* \tag{4}$$ o de forma equivalente $$ df(t,T)= \sigma(t,T) \int_t^T \sigma(t,u) \ du + \sigma(s,T) dW_t^*\tag{5}$$ por lo que la deriva de HJM es igual a $$e^{\beta(T-t)} \rho(z_t) \int_t^T e^{\beta(u-t)} \rho(z_t) \ du =\rho(z_t)^2 e^{\beta(T-t)} \frac{ e^{-\beta t}}{\beta} (e^{\beta T} - e^{\beta t}) \tag{6}$$ igualando la deriva HJM con la deriva de la ec. (3) y sustituyendo por $\tau=T-t$ produce la siguiente equidad $$ \frac{\rho(z_t)^2}{\beta} e^{\beta \tau} (e^{\beta \tau} - 1) = -h'(\tau)+e^{\beta \tau}(b(z_t)-\beta z) \tag{7}$$ suponiendo que $\tau=0$ resultados en $$ b(z)=h'(0)+\beta z \tag{8}$$ comparando con la ecuación dada $$b(z)=b+ \beta z \tag{9}$$ podemos deducir que $b=h'(0)$ por fin, enchufando $b(z)$ (8) en (7) da la $alpha$ valor $$\rho^2= \frac{\beta(e^{\beta \tau} h'(0)- h'(t))}{e^{\beta \tau}(e^{\beta \tau}-1)} \tag{10}$$ $$\alpha=\rho^2$$

Otras preguntas a este problema
b y $\alpha$ se han derivado de la condición de deriva. No entiendo en qué sentido demuestra la pregunta inicial.
¿Significa esto implícitamente que el lado derecho de (10) es una constante?
cuál es la relación entre la deriva HJM y el coeficiente de $dW_t^ *$ en (3)?

Answer 1

Casi lo consigues. Sin embargo, no puedes concluir que $\rho^2$ es una constante basada en $(10)$ . Tenga en cuenta que, desde su $(7)$ y $(8)$ , \begin {align*} \frac { \rho (z_t)^2}{ \beta } e^{ \beta \tau } (e^{ \beta \tau } - 1) = -h'( \tau )+e^{ \beta \tau }h'(0). \end {align*} Tomando la derivada con respecto a $\tau$ en ambos lados, obtenemos que \begin {align*} \frac { \rho (z_t)^2}{ \beta } \left (2 \beta e^{2 \beta \tau } - \beta e^{ \beta \tau } \right ) = -h''( \tau )+ \beta e^{ \beta \tau }h'(0). \end {align*} Entonces, fijando $\tau=0$ , \begin {align*} \rho (z_t)^2 = -h''(0)+ \beta h'(0). \end {align*} Es decir, $\rho(z_t)^2=\alpha$ es una constante, donde $\alpha = -h''(0)+\beta h'(0)$ .